(Radar) 11. 빔의 운용 — 측각, 탐색의 회계, 그리고 빔그리드
모노펄스가 빔폭을 SNR 로 쪼개는 원리부터 송신 이득이 사라지는 탐색 레이다 방정식, 시간을 배분하는 자원 관리, 다중빔의 회계, 그리고 탐색 공간을 격자로 까는 빔그리드 설계까지.
10장이 남긴 것은 조향 가능한 빔이다. 마이크로초면 어디로든 옮길 수 있고, 부엽이 관리되고, 캘리브레이션으로 유지되는 빔 — 그런데 빔이 준비됐다는 것과 빔을 잘 쓴다는 것은 다른 문제다. 이 장은 그 빔으로 재고(각도 측정), 찾고(탐색), 나누는(자원 관리와 빔그리드) 이야기다.
계산에는 배열이 둘 등장한다. 측각과 자원 관리는 시리즈의 기준 배열로 하고, 빔그리드는 우주감시 시나리오가 필요해서 축소형 예시 배열을 하나 새로 세운다.
| 항목 | 기준 배열 (10장) | 축소형 예시 배열 (이 장) |
|---|---|---|
| 반송파 | 9.5 GHz | 3 GHz |
| 소자 | 50 × 50, $d = \lambda/2$ | 32 × 32, $d = \lambda/2$ |
| 개구 (한 변) | 0.789 m | 1.6 m |
| 빔폭 $\theta_3$ | 2.031° | 3.17° |
| 실효 이득 / 유효 개구 | — | 32.1 dB / 1.28 m² ($\eta$ = 0.5) |
| 평균 전력 / 잡음온도 / 손실 | — | 1.02 kW / 500 K / 10 dB |
| 검출 문턱 (2장) | — | SNR 13 dB |
축소형 예시 배열의 값은 전부 임의로 정한 것이다. 어떤 실제 체계의 제원도 아니고, 계산이 손에 잡히는 크기로 골랐다. 이 장의 모든 수치는 이 표의 값으로 직접 계산해 검산했다.
1. 각도를 재는 일 — 빔폭을 SNR 로 쪼갠다
좁은 빔이 사 주는 것부터 정리한다. 하나는 각도 분해능이다. 같은 빔 안에 든 두 표적은 한 덩어리로 보이므로 분해 한계는 대략 빔폭이고, 기준 배열의 2.031° 는 105 km 에서 횡거리 3.7 km 다. 8장의 파형이 거리축에서 미터 단위를 갈라내는 것과 나란히 놓으면, 각도는 레이다에서 가장 조악한 축이다.
다른 하나는 각도 정확도인데, 이쪽은 빔폭보다 훨씬 좋게 만들 수 있다. 표적이 하나라면 빔폭을 SNR 로 쪼갤 수 있기 때문이다.
\[\sigma_\theta \approx \frac{\theta_3}{k_m\sqrt{2\,\mathrm{SNR}}}\]문제는 이 나눗셈을 한 펄스로 해내는 방법이다. 주엽 꼭대기는 평평해서 합빔의 진폭만으로는 표적이 축의 왼쪽인지 오른쪽인지조차 모른다. 빔을 좌우로 번갈아 틀어 진폭을 비교하는 순차 로빙(sequential lobing)이 고전 답이지만, 펄스 사이에 표적 RCS 가 요동하면(3장) 그 차이가 각도 오차로 둔갑한다. 모노펄스가 이것을 끝냈다. 10장 10절의 가중 두 벌로 합 $\Sigma$ 와 차 $\Delta$ 를 같은 펄스에서 만들면, 요동은 분자와 분모에 똑같이 타서 지워진다.
그림 1. 왼쪽 — 기준 배열의 합 패턴과 차 패턴. 차는 보어사이트가 영점이다. 오른쪽 — 판별 곡선. 빔폭 안에서 Δ/Σ 는 각도에 거의 비례하고, 부호가 방향을 준다.
빔폭 안에서 판별비는 직선이다.
\[\frac{\Delta}{\Sigma} \approx k_m\,\frac{\theta-\theta_0}{\theta_3}\]기울기 $k_m$ 은 차빔 설계가 정한다. 그림 1의 단순 반전 분할이 1.40 이고, Bayliss 급 차빔을 쓰는 실계는 1.6 부근까지 간다. 기준 배열에 넣어 보면
| SNR | $\sigma_\theta$ | 빔폭 대비 | 105 km 에서 |
|---|---|---|---|
| 13 dB (검출 문턱) | 0.230° | 1/9 | 422 m |
| 20 dB | 0.103° | 1/20 | 188 m |
검출 문턱을 갓 넘긴 표적도 빔폭의 1/9 로 재고, SNR 이 좋으면 1/20 까지 쪼갠다. 9장의 추적 필터가 받아먹던 측정치가 이렇게 만들어진다 — 9장에서 측정 잡음 $R$ 을 SNR 의 함수로 두는 근거가 바로 이 식이다.
2. 탐색의 회계 — 송신 이득이 사라진다
그러면 고이득·좁은 빔은 항상 좋은가. 추적과 측정에는 그렇다. 탐색에는 아니다.
입체각 $\Omega$ 를 프레임 시간 $t_f$ 안에 훑는 탐색을 생각한다. 빔 입체각이 $\Omega_B$ 면 빔 위치가 $M = \Omega/\Omega_B$ 개 필요하고, 빔당 드웰은 $\tau = t_f/M$ 이다. 빔당 SNR 에 이득 $G \approx 4\pi/\Omega_B$ 와 드웰을 함께 넣으면
\[\mathrm{SNR} \;\propto\; P_{av}\,G\,A_e\,\tau \;=\; P_{av}\,A_e\cdot\frac{4\pi}{\Omega_B}\cdot\frac{t_f\,\Omega_B}{\Omega} \;=\; \frac{4\pi\,P_{av}\,A_e\,t_f}{\Omega}\]빔폭이 소거된다. 상수와 전파 항까지 채우면 탐색 레이다 방정식이다.
\[\mathrm{SNR} = \frac{P_{av}\,A_e\;t_f\;\sigma}{4\pi\,\Omega\,R^4\,k T_s L}\]탐색 성능을 정하는 것은 송신 이득이 아니라 평균 전력과 유효 개구의 곱(power–aperture 곱), 그리고 시간 예산 $t_f/\Omega$ 뿐이다. 빔을 좁히면 이득이 오르는 만큼 빔 수가 늘어 드웰이 짧아지고, 정확히 상쇄된다. 좁은 빔은 탐색에서 공짜 이득이 아니다. 그런데도 탐색 레이다가 펜슬빔을 고집하는 이유는 1절에 있다 — 찾은 그 자리에서, 같은 빔으로 재기 위해서다. 탐색은 회계가 정하고, 측정이 빔폭을 정한다.
3. 자원 관리 — 시간이 유일한 자원이다
여기가 위상배열 소프트웨어의 본체다. 빔을 자유롭게 옮길 수 있게 되면 어디를 언제 얼마나 볼지 결정하는 문제가 새로 생긴다. 기계식 레이다에는 이 문제가 아예 없었다.
그림 2. 레이다가 하는 일은 결국 dwell 하나를 시간축에 놓는 일이다.
태스크의 종류
| 태스크 | 목적 | 우선순위 |
|---|---|---|
| 탐색 | 정해진 영역을 훑는다 | 낮음 (하지만 빼먹으면 안 된다) |
| 확인 | 새 검출이 진짜인지 즉시 재조사 | 높음 |
| 추적 갱신 | 기존 트랙의 상태를 갱신 | 트랙 품질에 따라 |
| 특수 | 정밀 추적, 식별, 광대역 조사 | 상황에 따라 |
확인(confirmation) 태스크가 위상배열의 특권이다. 기계식이었다면 새 검출을 다시 보려면 안테나가 한 바퀴 돌아올 때까지 기다려야 한다. 위상배열은 수 밀리초 뒤에 그 방향을 다시 볼 수 있다. 9장의 M/N 확인 로직이 스캔 단위가 아니라 밀리초 단위로 돌아간다는 뜻이라, 트랙 확정이 비교할 수 없이 빠르다.
예산은 금방 바닥난다
기준 배열로 90° × 30° 영역을 훑는다고 하자.
\[\text{빔 위치} = \left\lceil\frac{90°}{2.03°}\right\rceil \times \left\lceil\frac{30°}{2.03°}\right\rceil = 45 \times 15 = 675\]탐색 dwell 을 10 ms 로 잡으면 탐색만 할 때 프레임이 6.75초다. 이 6.75초가 2절 탐색식의 $t_f$ 다 — 회계는 이미 닫혀 있고, 이제부터는 배분의 문제다. 여기에 추적을 얹는다. 트랙 하나를 4 ms 로 1초에 한 번 갱신한다면
| 트랙 수 | 추적 점유율 | 탐색 프레임 |
|---|---|---|
| 50 | 20 % | 8.44 s |
| 100 | 40 % | 11.25 s |
| 200 | 80 % | 33.75 s |
| 220 | 88 % | 56.25 s |
선형이 아니다. 점유율이 100 %에 가까워지면 탐색 프레임이 발산한다. 트랙이 두 배로 늘 때 탐색이 세 배로 느려지는 구간이 있고, 그 지점을 넘으면 새 표적을 아예 못 찾는다. 그리고 새 표적을 못 찾으면 위협이 접근해도 모른다.
해법은 균등 갱신을 버리는 것
모든 트랙을 같은 주기로 볼 이유가 없다. 9장의 공분산이 그 판단 기준을 이미 들고 있다.
예측을 반복하면 $P$ 가 $Q$ 만큼씩 커진다. 그 크기가 문턱을 넘을 때만 조사하면, 등속으로 얌전히 가는 표적은 드물게 보고 기동하는 표적은 자주 보게 된다. 9장의 IMM 모델 확률도 좋은 신호다 — 기동 모델 확률이 올라간 트랙에 갱신을 몰아주면 된다.
여기서 9장에 적어 둔 제약이 되돌아온다. 갱신 주기가 트랙마다 다르면 $F$ 와 $Q$ 를 매번 $T$ 로 다시 만들어야 하고, 9장의 α-β 상수는 쓸 수 없다. 자원 관리를 도입하는 순간 추적 필터도 함께 바뀐다. 두 모듈은 따로 설계할 수 없다.
스케줄러
실무의 스케줄러는 대개 우선순위 큐 위의 최기한 우선(EDF) 변형이다. 각 태스크에 마감 시각과 우선순위를 주고, 마감이 임박한 것부터 놓되 높은 우선순위가 선점할 수 있게 한다. 주의할 점 둘.
- 선점이 dwell 중간에 일어나면 안 된다. CPI 를 쪼개면 코히어런트 적분이 깨진다. 스케줄링 단위는 dwell 전체다.
- 굶주림(starvation)을 막아야 한다. 추적이 계속 밀고 들어오면 탐색이 영영 실행되지 않는다. 탐색에 최소 점유율을 보장하는 예약이 필요하다.
4. 다중빔 — 넓게 쏘고 좁게 듣는다
2절의 회계에는 함정이 하나 숨어 있다. 식은 $t_f$ 를 $M$ 조각으로 나눠 쓰라고만 말하지, 그 조각이 쓸 만한 크기인지는 묻지 않는다.
단일 펜슬빔 순차 탐색에서 드웰은 $\tau = t_f/M$ 인데 $M$ 은 쉽게 수백에서 수천이 된다. 그러면 드웰이 잘게 부서진다 — 10장 첫머리의 22 ms 에 22펄스가 정확히 이 문제였다. 반대로 원거리는 $R^4$ 때문에 긴 드웰을 요구한다. 뒤의 표에서 보겠지만 축소형 예시 배열이 1,000 km 의 10 m² 표적을 보려면 빔당 10.3초가 필요한데, 저궤도 표적은 그 빔을 7.5초 만에 지나가 버린다. 요구 드웰이 표적의 빔 통과 시간을 넘는 순간, 순차 탐색은 회계 이전에 물리로 닫힌다.
다중빔이 이 시간 구조를 푼다. 재료는 10장에 이미 다 있다 — 8절의 빔 확장(spoiling)으로 송신빔을 $k$ 배 넓게 뭉개고(이득 $-10\log k$), 9절의 가중 $K$ 벌로 그 발자국 안에 수신 펜슬빔 $k$ 개를 동시에 깐다. 회계를 확인하면
\[\underbrace{\left(\frac{G_t}{k}\right)}_{\text{송신 이득}} \times \underbrace{\left(k\,\tau\right)}_{\text{드웰}} \;=\; G_t\,\tau\]SNR 은 정확히 그대로다. power–aperture 정리는 다중빔도 벗어나지 못한다. 다중빔은 탐색 SNR 을 올리는 도구가 아니라, 같은 시간 예산을 k 배 굵은 조각으로 바꾸는 도구다. 굵은 조각이 사 주는 것이 셋 있다. 드웰이 길어져 파형과 적분이 설 자리가 생기고(8장의 펄스 적분이 돌아온다), 송신 발자국 안의 표적을 통과 내내 놓치지 않고 주시하며, 측정은 여전히 좁은 수신 빔폭과 모노펄스로 한다(1절). 넓게 쏘고 좁게 듣는다 — 송신이 회계를 대고, 수신이 정확도를 지킨다.
5. 빔그리드 — 하늘을 격자로 깐다
이제 빔을 실제로 깔아 보자. 탐색 영역을 빔폭 단위로 덮는 빔 위치의 집합이 빔그리드다.
격자를 짜는 좌표부터. 조향은 각도가 아니라 사인 공간 $u = \sin\theta\cos\varphi,\ v = \sin\theta\sin\varphi$ 에서 규칙적이다. 10장 4절의 빔 퍼짐($1/\cos\theta_0$)이 이 좌표에서는 저절로 흡수되어 빔폭이 $u$ 축에서 일정해지므로, 격자를 u–v 에서 등간격으로 깔면 빔 사이 교차 레벨이 어디서나 같아진다. 격자 자체는 육각 배치가 정답이다. 빔 셋 사이 최악 지점이 정사각 격자의 넷 사이 지점보다 중심에 가까워, 같은 교차 손실 기준으로 더 성긴 간격, 즉 더 적은 빔으로 같은 영역을 덮는다.
그림 3. 왼쪽 — 육각 격자와 교차점. 간격이 빔폭과 같으면 이웃 빔과 −3 dB 에서 만난다. 오른쪽 — 같은 배열 위의 다섯 모드. 영역과 드웰과 재방문만 다르다.
간격 $\Delta$ 를 빔폭 $\theta_3$ 로 잡으면 이웃 빔과 −3 dB 에서 교차하고(세 빔 사이 최악 지점은 −4 dB 근방), 입체각 $\Omega$ 를 덮는 빔 수는
\[M \approx \frac{\Omega}{(\sqrt{3}/2)\,\Delta^2}\]이다. $\Delta$ 를 좁히면 교차 손실이 주는 대신 $M$ 이 $1/\Delta^2$ 로 늘어난다. 이 트레이드도 결국 2절 회계에 얹힌다.
이제 축소형 예시 배열을 우주감시 시나리오의 다섯 모드에 넣어 본다. 빔당 요구 드웰은 에너지형 레이다 방정식
\[\mathrm{SNR} = \frac{P_{av}\,\tau\,G\,A_e\,\sigma}{(4\pi)^2\,R^4\,k T_s L}\]에서 역산했고, 프레임은 $M\tau$, 체류는 저궤도 표적(약 7.4~7.7 km/s)이 해당 영역이나 빔을 지나는 시간이다.
| 모드 | 영역 (az×el) | R, σ | 빔 수 M | 빔당 τ 요구 | 프레임 Mτ | 표적 체류 | 판정 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 저궤도 근거리 탐색 | 60°×(30–70°) | 300 km, 1 m² | 173 | 0.84 s | 145 s | ~27 s | ✗ |
| 〃 (협력 표적) | 〃 | 300 km, 10 m² | 173 | 0.084 s | 14.5 s | ~27 s | ○ |
| 저궤도 울타리 | 120°×3.2° (한 줄) | 1,000 km, 10 m² | 43 | 10.3 s | 7.4 분 | 7.6 s | ✗ |
| 중궤도 탐색 | 20°×(40–50°) | 8,000 km, 100 m² | 16 | 71 분 | 19 시간 | ~4.4 분 | ✗ |
| 광역감시 | 360°×(10–80°) | 300 km, 1 m² | 1,919 | 0.84 s | 27 분 | 수 분 | ✗ |
| 〃 (협력 표적) | 〃 | 300 km, 10 m² | 1,919 | 0.084 s | 2.7 분 | 수 분 | △ |
| 큐잉탐색 | 큐 중심 ±5° | 300 km, 1 m² | 8 | 0.84 s | 6.8 s | ~6.8 s | △ |
○ 는 성립, △ 는 경계, ✗ 는 불성립이다. 판정 열이 이 표의 본론이다. 프레임이 표적 체류보다 길면 그 모드는 성립하지 않는다 — 표적이 격자를 다 지나가도록 레이다가 한 바퀴를 못 돈 것이다.
성립하는 줄부터 본다. 근거리 탐색은 10 m² 협력 표적이면 프레임 14.5초로 체류 27초 안에 두 바퀴 가까이 돈다. 큐잉탐색은 외부 큐가 영역을 ±5° 로 줄여 준 덕에 빔 여덟 개뿐이라 순차로도 프레임과 체류가 6.8초로 나란한데, 여기에 4절의 다중빔을 얹으면 이야기가 편해진다. 아홉 빔을 동시에 깔면 격자 전체가 한 드웰이 되어 표적이 지나가는 6.8초 내내 조사한다. 같은 회계 안에서 경계가 성립으로 넘어오는, 다중빔의 가치가 가장 선명한 자리가 큐잉이다.
성립하지 않는 줄이 더 배울 것이 많다. 울타리는 빔당 요구 드웰 10.3초가 표적의 울타리 통과 시간 7.6초보다 이미 길다. 4절에서 본 “회계 이전에 물리로 닫히는” 경우이고, 다중빔으로 드웰을 굵혀도 power–aperture 가 그대로라 SNR 이 돌아오지 않는다. 중궤도는 빔 하나에 71분이 필요하다. 어떤 격자 논리로도 구제되지 않는 순수한 power–aperture 부족이다.
이것이 축소형 시제의 정직한 회계다. 격자 생성, 드웰 배분, 모드 전환, 다중빔 처리 — 논리는 전부 이 배열로 검증할 수 있다. 탐지 회계는 그렇지 않다. 그래서 축소형 시험은 두 갈래로 갈린다. 협력 표적과 축소된 거리로 회계까지 실증하는 모드(근거리, 큐잉), 그리고 격자와 스케줄러만 돌려 보고 회계는 계산으로 대신하는 모드(울타리, 중궤도). 본품이 이 표를 다시 쓰려면 power–aperture 곱을 몇 자릿수 올리면 된다. 2절 식에는 그 곱 하나만 들어 있으므로, ✗ 를 ○ 로 바꾸는 통화는 그것뿐이다.
마지막으로 3절과 잇는다. 빔그리드는 자원 관리 입장에서 보면 탐색 태스크의 목록이다. 모드가 바뀐다는 것은 격자와 드웰과 재방문 요구가 통째로 바뀐다는 뜻이고, 그 목록 위에 확인과 추적 갱신이 끼어들며 3절의 예산 싸움이 시작된다. 표의 프레임 값들은 추적 부하가 0일 때의 숫자다 — 점유율이 오르면 저 값들이 3절의 표처럼 부풀어 오른다.
6. 다중빔을 구현한다면
4·5절을 축소형 예시 배열 위에 실제로 얹는다면 무엇을 고르게 되는지 정리해 둔다.
| 방식 | 동시 빔 | 유연성 | 비용 | 비고 |
|---|---|---|---|---|
| 단일빔 순차 | 1 | 조향은 자유 | 최소 | 드웰이 잘게 부서진다 (4절) |
| 버틀러 매트릭스 (10장 8절) | N (고정) | 방향·개수 고정 | 회로 | 하이브리드 $(N/2)\log_2 N$ 개 |
| 전소자 디지털 | 계산량만큼 | 최대 | 1,024 수신기 | 50 MHz 기준 1.4 Tb/s |
| 부배열 디지털 (10장 9절) | 부배열 패턴 안에서 K | 충분 | 16 수신기 | 22.4 Gb/s, 격자엽 관리 |
축소형이라면 답은 사실상 정해져 있다. 8×8 부배열 16개로 묶은 부배열 디지털 빔포밍이다. 데이터율이 전소자의 1.4 Tb/s 에서 22.4 Gb/s 로 두 자릿수 내려오고, 수신 3×3 = 9빔 클러스터가 부배열 패턴 폭 안에 넉넉히 들어가며, 송신은 위상 spoiling 으로 같은 9빔 발자국을 만든다. 합·차 가중을 빔마다 두 벌씩 들고 다니면 모노펄스도 아홉 빔 전부에서 공짜다(10장 10절). 남는 숙제는 부배열 간격이 만드는 격자엽 관리(10장 9절), 채널 16개의 캘리브레이션(10장 11절), 그리고 어느 빔 위치에 언제 어떤 드웰을 줄지 — 결국 3절의 스케줄러다.
이 시리즈의 처음으로 돌아가면, 10장과 이 장은 “빔이 어디에 사는가”의 역사였다. 기계에, 위상 이동기에, 회로에, 그리고 숫자에. 빔이 숫자가 되는 순간 다중빔과 빔그리드는 하드웨어 문제가 아니라 스케줄링 문제가 되고, 레이다 설계의 무게중심은 안테나에서 소프트웨어로 넘어온다.
7. 정리
| 절 | 핵심 |
|---|---|
| 1 | 각도 분해능은 빔폭, 정확도는 빔폭을 $k_m\sqrt{2\,\mathrm{SNR}}$ 로 나눈 것 |
| 2 | 탐색 SNR 에 송신 이득이 없다 — power–aperture 와 $t_f/\Omega$ 가 전부다 |
| 3 | 시간이 유일한 자원이고, 점유율은 선형으로 오르지 않는다 |
| 4 | 다중빔은 SNR 이 아니라 시간의 조각 크기를 산다 |
| 5 | 프레임이 표적 체류보다 길면 그 모드는 성립하지 않는다 |
| 6 | 부배열 디지털 빔포밍이 축소형의 현실해다 |
되돌아오게 될 것은 셋이다.
- $\sigma_\theta \approx \theta_3/(k_m\sqrt{2\,\mathrm{SNR}})$ — 측정의 눈금은 빔폭이 아니라 빔폭 나누기 SNR 이다
- 탐색은 power–aperture 가 정한다 — 빔폭도, 다중빔도 이 회계를 벗어나지 못한다
- 점유율이 오르면 탐색 프레임은 발산한다 — 자원 관리가 성능을 정한다
안테나에 들어온 전파가 화면의 트랙 심볼이 되고, 그 트랙이 다시 다음 빔을 어디로 보낼지 결정하기까지 — 0장에서 시작한 고리가 여기서 닫힌다.
시리즈를 한 장으로
| 장 | 다루는 것 | 남기는 것 |
|---|---|---|
| 0 | 단위, 파장, 데시벨, 도플러 | 눈금 |
| 1 | 재는 것 넷, 밴드, 레이다 방정식 | 탐지거리 |
| 2 | 검출 문턱, 잡음 바닥, 펄스 적분 | 필요 SNR |
| 3 | 표적 요동, 시스템 손실, 전파 환경 | 실제 탐지거리 |
| 4 | 용어, RCS 기준 표적, 국방 연구개발 체계 | 참조 |
| 5 | 위상과 IQ, 직교 복조 | 복소 기저대역 |
| 6 | CW 와 FMCW, 접기의 대가 | 파형 선택 |
| 7 | CW 수신 체인 구현 | 한 프레임의 표적 목록 |
| 8 | 펄스, 압축, PRF, MTI | 거리–도플러 맵 |
| 9 | 연관, 필터, 트랙 관리 | 트랙 |
| 10 | 배열, 조향, 빔포밍 | 조향 가능한 빔 |
| 11 | 측각, 탐색의 회계, 자원 관리, 다중빔 | 빔그리드 |
참고 자료
- M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, 2nd ed., McGraw-Hill, 2014 — 각도 측정과 정확도, 탐색 방정식의 신호처리 관점
- S. M. Sherman, D. K. Barton, Monopulse Principles and Techniques, 2nd ed., Artech House — 판별 곡선, 기울기, 요동 면역의 근거
- M. I. Skolnik (ed.), Radar Handbook, 3rd ed., McGraw-Hill — 탐색 레이다 방정식과 자원 관리 장
- D. K. Barton, Radar System Analysis and Modeling, Artech House — 탐색 설계, 빔 격자와 교차 손실