(Radar) 2. CW 레이다와 FMCW 레이다 — 같은 IQ, 접느냐 접지 않느냐

1편은 직교 복조기가 복소 기저대역 $x[n] = I[n] + jQ[n]$을 만드는 데까지 갔다. 이 글에서는 그 스트림이 수신기 안에서 어디로 가는지 살펴본다.

먼저 1편에서 넘어간 질문 하나를 짚고 시작한다. 1편은 “거리는 왕복 시간으로 잰다”고 해놓고, 정작 거리를 뽑는 예시에서는 사인파가 아니라 chirp을 쏘았다. 왜 그냥 사인파를 쏘고 돌아온 시간을 재지 않는가? 이 질문이 이 글의 출발점이고, 답을 정리하면 CW와 FMCW의 차이가 그대로 나온다.

미리 밝혀 둘 것이 하나 있다. 내가 손으로 만지는 것은 24 GHz 단거리 CW다. 이 글의 FMCW 쪽 숫자는 전부 공개된 파라미터로 세운 설계 계산이지 양산 경험이 아니다. 그리고 뒤에 나오는 골프 시스템 예시도 특정 제품의 사양이 아니라, 이 대역에서 그런 표적을 볼 때 계산이 어떻게 되는지 보이려고 세운 가상의 설계값이다.

결론부터 적으면 세 문장이다. 두 파형은 복소 기저대역까지 완전히 같고, 그 샘플 열을 $N$개씩 접느냐에서만 갈라진다. 접으면 거리 빈이 $N$칸 생기는 대신 비모호 속도가 정확히 $N$배 좁아진다. 그리고 속도 분해능 $\lambda/2T$는 두 방식이 똑같다. 나머지는 전부 이 셋을 숫자로 확인하는 과정이다.

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1. 변조 없는 반송파에는 시간 표식이 없다

송신파를 $s(t) = \cos(2\pi f_0 t)$라 하자. $\tau$만큼 늦게 돌아온 에코는 이렇게 생겼다.

\[s(t-\tau) = \cos\!\big(2\pi f_0 t - 2\pi f_0 \tau\big) = \cos\!\Big(2\pi f_0 t - \frac{4\pi R}{\lambda}\Big)\]

지연이 신호에 남긴 흔적은 상수 위상 하나뿐이고 파형 자체는 조금도 달라지지 않았다. 무한히 이어지는 사인파는 모든 주기가 완전히 동일하므로, 수신단은 자기가 보고 있는 마루가 몇 번째 마루인지 알 방법이 없다. 시계는 있지만 눈금이 없는 상태다.

게다가 그 유일한 흔적인 위상마저 $2\pi$로 감긴다. 24 GHz에서 $\lambda/2 = 6.25\,\mathrm{mm}$이므로, 3 m 떨어진 표적과 3.00625 m 떨어진 표적은 CW 수신단에게 완전히 같은 신호다. 절대 거리는 관측량이 아니다.

추정 이론의 언어로 옮기면 더 분명해진다. 지연 추정의 Cramér–Rao 하한은 파형의 RMS 대역폭 $\beta_{\mathrm{rms}}$에 반비례한다.

\[\sigma_\tau \;\ge\; \frac{1}{2\pi \beta_{\mathrm{rms}} \sqrt{2E/N_0}}\]

$\beta_{\mathrm{rms}}$는 신호 에너지가 중심 주파수에서 얼마나 넓게 퍼져 있는지를 나타내는 표준편차다. 스펙트럼을 확률분포로 보았을 때의 산포라고 생각하면 된다. $E/N_0$는 잡음 전력 밀도 대비 신호 에너지, 즉 적분된 SNR이다.

식이 말하는 것은 단순하다. 거리 정밀도를 결정하는 것은 대역폭이지 전력이 아니다. 순수 톤은 에너지가 한 점에 몰려 있어 $\beta_{\mathrm{rms}} = 0$이고, 그러면 하한이 무한대다. SNR을 아무리 올려도 거리는 나오지 않는다. 하드웨어가 부족한 것이 아니라 정보 자체가 없다. 6절에서 FSK가 톤을 대역 양 끝에 배치해 $\beta_{\mathrm{rms}}$를 억지로 키우는 것을 보게 되는데, 그 발상의 근거가 이 식이다.

그런데 지연의 변화율은 살아남는다. $R(t)$가 변하면 위상이 $\dot\phi = -4\pi\dot R/\lambda$로 흐르고, 이 흐름의 속도는 감기지 않는다. 이것이 도플러다. CW가 속도를 재는 것은 그렇게 선택해서가 아니다. 남는 정보가 그것뿐이다.

CW는 FMCW의 열화판이 아니다

1편에서 본 $\Delta R = c/2B$는 FMCW 전용 공식이 아니라 두 파형에 공통인 법칙이다. 길이 $T$의 톤은 대역폭이 $\approx 1/T$이므로 그대로 대입하면 된다.

\[B \approx \frac{1}{T} \;\Longrightarrow\; \Delta R \approx \frac{cT}{2} = 1{,}500\,\mathrm{km} \quad (T = 10\,\mathrm{ms})\]

“거리 분해능이 사실상 없다”를 숫자로 쓰면 이렇게 된다. 그리고 완전히 대칭인 식이 반대편에 있다.

\[\Delta R = \frac{c}{2B} \qquad \longleftrightarrow \qquad \Delta v = \frac{\lambda}{2T}\]

거리 분해능은 주파수축을 얼마나 넓게 보았는가, 속도 분해능은 시간축을 얼마나 길게 보았는가. 같은 푸리에 쌍대성의 양면이다. CW는 $B \to 0$인 극단일 뿐 결함이 있는 파형이 아니다.

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2. 같은 IQ, 갈라지는 두 체인

이 절부터 기호가 빠르게 늘어난다. 먼저 한자리에 모아 둔다 — 뒤에서 계속 되돌아오게 된다.

기호	뜻	이 시리즈의 값
$f_s$	ADC 표본화 주파수	50 kHz
$T_s = 1/f_s$	샘플 간격 (fast-time)	20 µs
$T$	코히어런트 관측 시간. 총 샘플 수 $= f_s T$	10.24 ms (512 샘플)
$N$	chirp 하나당 샘플 수 = 거리 빈 개수	FMCW 전용
$M$	CPI 하나당 chirp 수 = 도플러 빈 개수 ($NM = f_s T$)	FMCW 전용
$T_c = N T_s$	chirp 주기 = slow-time 샘플 간격	FMCW 전용
$B$	chirp 대역폭	250 MHz (24 GHz ISM)
$S = B/T_c$	chirp 기울기	FMCW 전용
$f_b$	비트 주파수 — 거리에 비례	FMCW 전용
$f_d = 2v/\lambda$	도플러 주파수 — 속도에 비례	골프공 10.7 kHz

절반이 FMCW 전용이다. CW에는 $N$도 $M$도 $T_c$도 없고, 정확히 그 셋이 없다는 것이 이 글의 주제다.

두 방식의 안테나도 믹서도 사실상 같고, 1편이 끝난 지점인 복소 기저대역까지는 완전히 동일하다. 차이는 오직 LO가 무엇을 하고 있었는가로 압축된다.

CW는 LO가 고정 톤이라 직교 복조 출력에 남는 위상 변화율이 도플러뿐이다. 표적 하나에 대한 기저대역은 1차원 복소 정현파가 되고, 정지 클러터와 LO 누설은 정확히 0 Hz에 얹힌다.

\[x_{\mathrm{CW}}[n] = A\,e^{j(2\pi f_d n T_s + \phi_0)} + c[n]\]

FMCW는 LO가 기울기 $S = B/T_c$로 램프를 타므로 차주파수에 거리가 실리고, chirp가 반복될 때마다 같은 표적의 위상이 $4\pi v T_c/\lambda$씩 돌아간다.

\[x_{\mathrm{FMCW}}[n, m] = A\,e^{j2\pi f_b n T_s}\, e^{j2\pi f_d m T_c}\, e^{j\phi_0}\]

두 개의 독립적인 지수항이 곱해진 2차원 복소 정현파다. 분리 가능하다는 이 사실이 FFT를 두 번 거는 근거 전부다.

그림 1. 1편의 종착점에서 갈라지는 두 체인. CW는 샘플 열을 그대로 두고 FFT를 한 번 걸고, FMCW는 N×M으로 접어 두 축에 각각 건다. 두 방식의 차이는 FFT를 한 번 거느냐 두 번 거느냐로 요약된다.

CW 체인 — 여섯 단계

(a) DC·클러터 제거. 거리 게이트가 없으니 벽·삼각대·바닥이 전부 0 Hz에 쌓인다. 블록 평균 차감은 폭이 $\approx 1/T$인 DC 노치와 같아서 $\lvert v\rvert < \lambda/2T$ 구간의 감도가 크게 떨어진다($T = 10.24\,\mathrm{ms}$면 0.61 m/s). 다만 노치라고 해도 경계가 칼같지는 않다 — 3편 3절에서 속도별 손실을 실측하는데, −3 dB 지점은 0.35 m/s이고 정수 빈에 정확히 놓인 표적은 손실이 0이다. $\lambda/2T$는 경계가 아니라 폭을 나타내는 값으로 읽어야 한다. 아날로그 쪽에서 HPF로 잡으면 코너 주파수가 곧 최소 측정 속도 $v_{\min} = \lambda f_{\mathrm{HPF}}/2$를 정한다 — 300 Hz면 1.875 m/s다. 같은 사각지대가 디지털과 아날로그 양쪽에서 온다.

(b) I/Q 불균형 보정. CW에서 특히 치명적이다. 이미지가 $-f_d$에 생기는데, 그 자리는 “같은 속도로 멀어지는 표적”이라는 물리적으로 그럴듯한 위치다. 즉 불균형이 그대로 이미지 표적이 된다. 이득 0.5 dB, 위상 3°만 어긋나도 이미지 억압비가 28 dB에 그친다.

식에 넣기 전에 단위를 맞춰야 한다. $\epsilon$는 무차원으로 환산한 진폭비 오차, $\psi$는 라디안으로 환산한 직교 오차다. dB와 도(°)를 그대로 대입하면 값이 완전히 달라진다 — 이득 0.5 dB는 $\epsilon = 0.059$이지 0.5가 아니고, 위상 3°는 $\psi = 0.052$이지 3이 아니다.

\[\mathrm{IRR} \approx -20\log_{10}\frac{\sqrt{\epsilon^2 + \psi^2}}{2} = 28.1\,\mathrm{dB} \quad \big(\epsilon = 10^{0.5/20} - 1 = 0.059,\;\; \psi = 3° = 0.052\,\mathrm{rad}\big)\]

28 dB라는 것은 진짜 표적보다 28 dB 낮은 유령이 반대편 속도에 선다는 뜻이다. 3편 4절에서 같은 불균형을 합성 신호에 주입해 재면 27.9 dB가 나온다.

(c) 윈도잉. 강한 표적의 사이드로브가 약한 표적을 덮는 것을 막는다. 직사각 창의 첫 사이드로브는 −13 dB, Hann 창은 −31 dB에서 시작해 훨씬 빠르게 떨어진다.

(d) 복소 FFT 한 번. 접히지 않은 시간축에 그대로 걸면 그 자체가 도플러 스펙트럼이고, 빈 위치가 속도, 부호가 접근/이탈이다. 피크가 정수 빈에 정확히 떨어지는 일은 없으니 포물선 보간이 사실상 필수다.

(e) 검출. 참조 셀을 주파수축 하나에서만 잡는 1차원 검출이다. 2차원 맵이 없을 뿐 적응 문턱은 그대로 필요하다.

(f) 각도. 도플러 피크 빈의 복소값을 채널마다 뽑아 위상차를 취한다. FFT가 이미 코히어런트 적분기 역할을 해 SNR을 올려 준 뒤의 위상이라 훨씬 깨끗하다.

FMCW 체인 — 접는 데서 시작한다

같은 스트림을 $N \times M$ 행렬로 접는다. 행마다 range FFT를 걸면 거리축이 생긴다.

\[\Delta R = \frac{c}{2B}, \qquad R_{\max} = \frac{c f_s}{2S} = N\,\Delta R\]

비트 주파수는 복소 기저대역에서 양수 쪽만 쓰므로 $[0, f_s)$ 전체가 거리축이 된다(실수 샘플링이면 절반이다). chirp당 샘플 수 $N$이 곧 “거리 빈을 몇 개 살 것인가”다. 같은 거리 빈을 chirp 축으로 잘라 Doppler FFT를 걸면 속도가 나오는데, 여기서 slow-time 샘플링 주기가 $T_s$가 아니라 $T_c$라는 사실이 다음 절의 전부다.

출력은 $N \times M$ 셀의 2차원 맵이다. 셀마다 잡음 바닥이 수십 dB 다르므로 고정 문턱값을 쓸 수 없고 CFAR가 필수가 된다. 참조 셀 16개에 $P_{fa} = 10^{-4}$면 문턱 계수는 이렇다.

\[\alpha = N_{ref}\big(P_{fa}^{-1/N_{ref}} - 1\big) = 12.45 \;\;\longrightarrow\;\; 10.95\,\mathrm{dB}\]

여기서 흔한 오해를 하나 걷어내야 한다. CW 체인이 가벼운 것은 사실이지만 CFAR가 필요 없어서가 아니다. 뒤에서 보듯 CW의 1차원 스펙트럼도 바닥이 전혀 평탄하지 않다.

다만 CW에서는 바닥의 성질을 나눠 봐야 한다. 1/f 잡음은 매 프레임 같은 모양으로 나타나는 정적 성분이라, 빈 상태에서 미리 재어 나눠 버리는 쪽(잡음 바닥 정규화)이 맞다. 여기에 셀 평균 CFAR를 그대로 얹으면 클러터 에지 손실만 본다. 적응 문턱이 필요한 곳은 프레임마다 달라지는 이동 클러터 쪽이고, 그래서 주파수축 슬라이딩 윈도 형태의 1차원 CFAR는 여전히 필요하다.

결국 차이는 참조 셀을 한 축에서 잡느냐 두 축에서 잡느냐뿐이다. 요즘 FMCW SoC는 이 블록을 하드웨어로 들고 있어 복잡도 항목으로 계상하기도 애매하다.

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3. 접는 값은 정확히 N

이제 두 체인을 같은 조건에서 비교한다. 같은 파장, 같은 ADC 속도 $f_s$, 같은 코히어런트 관측 시간 $T$ — 그러면 총 샘플 수도 $f_s T$로 같다.

CW는 이 샘플을 전부 한 축에 쓴다. 도플러 축의 샘플링 속도는 $f_s$, 스팬도 $f_s$, 분해능은 $1/T$다. FMCW는 같은 샘플을 $N \times M$으로 쪼갠다($NM = f_s T$). $N$은 거리 빈을 사는 데 쓰고 도플러 축에는 $M$개만 남으며, 그 축의 샘플링 속도는 $f_s$가 아니라 $1/T_c = f_s/N$이 된다.

그림 2. 같은 샘플 열을 N개씩 접으면 거리축 N칸이 생기는 대신 도플러 축의 샘플 간격이 Ts에서 NTs로 늘어난다. 총 샘플 수도 속도 분해능도 그대로다.

여기서 두 결론이 동시에 나온다.

속도 분해능은 두 방식이 똑같다

\[\Delta v_{\mathrm{CW}} = \Delta v_{\mathrm{FMCW}} = \frac{\lambda}{2T}\]

$\Delta v$는 오직 관측 시간의 함수이고 파형과도 샘플 수와도 무관하다. “CW가 속도를 더 잘게 나눈다”는 통념은 틀렸다. CRLB로 봐도 마찬가지여서, 추정 정밀도는 $T$와 적분된 총 SNR이 정하지 $f_s$를 올린다고 좋아지지 않는다.

진짜 차이는 비모호 속도이고, 그 비는 정확히 N이다

\[\frac{v_{\max,\mathrm{CW}}}{v_{\max,\mathrm{FMCW}}} = \frac{\lambda f_s/4}{\lambda/4T_c} = f_s T_c = N\]

FMCW는 $N$개의 거리 빈을 얻는 대가로 비모호 속도를 정확히 $N$배 지불한다. chirp당 샘플 수가 두 물리량 사이의 교환 비율이다. 실제로는 FMCW의 ADC 속도가 최대 비트 주파수로 정해지므로 $f_s$가 서로 다르지만, 이 항등식은 “같은 $f_s$라면”이라는 조건 아래에서 접기의 순수 비용만 떼어내 보여준다.

여기서 항등식이 하나 더 나온다. 1편에서 짚은 거리–도플러 결합 편향을 거리 빈 단위로 환산하면, 속도가 몇 바퀴 감기는지와 같은 수가 된다.

\[\frac{\delta R_{\mathrm{coupling}}}{\Delta R} \;=\; \frac{v}{2 v_{\max}} \;=\; f_d T_c\]

FMCW에서 “거리가 몇 빈 밀렸는가”와 “속도가 몇 바퀴 감겼는가”는 하나의 숫자다.

분해능을 얻으면 새 문제도 생긴다: 표적이 관측 구간 동안 여러 거리 빈을 가로지르면 Doppler FFT가 번진다(range migration). 5 cm 빈은 $B = 3\,\mathrm{GHz}$를 뜻하니 24 GHz ISM이 아니라 77–81 GHz 쪽 이야기이고, 거기서는 $\lambda = 3.9\,\mathrm{mm}$다. 67 m/s로 나는 표적이 한 빈을 746 µs에 통과하므로 마이그레이션을 1빈 이내로 묶으면 $\Delta v = \lambda/2T$가 2.6 m/s까지 거칠어진다. 물론 keystone 변환이나 거리 걸음 보상으로 푸는 표준 문제이지 파형이 무너지는 지점은 아니다. 요점은 거리 분해능을 살수록 표적의 비정상성이 제약이 되고 보상 연산이 따로 필요해진다는 것이며, 뒤에서 볼 CW의 감속 한계도 정확히 같은 종류의 문제다.

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4. 레인지 상관 — 근거리에서 위상잡음이 상쇄되는 이유

CW와 FMCW의 수신단은 둘 다 호모다인이다. 같은 발진기가 송신도 하고 LO 노릇도 한다. 이 구조에는 교과서에 잘 나오지 않는 중요한 성질이 하나 있다.

기저대역에 남는 위상 잡음은 $\phi_{\mathrm{osc}}(t)$ 자체가 아니라 $\phi_{\mathrm{osc}}(t) - \phi_{\mathrm{osc}}(t-\tau)$라는 차분이다. 차분기의 전달 함수를 스펙트럼 밀도에 적용하면 이렇게 된다.

\[S_{\Delta\phi}(f) = S_\phi(f)\cdot 4\sin^2(\pi f \tau) \;\xrightarrow{\;f\tau \ll 1\;}\; S_\phi(f)\,(2\pi f \tau)^2\]

왕복 시간이 짧으면 발진기 잡음이 스스로 지워진다. 이것이 레인지 상관(range correlation)이다.

그림 3. 호모다인 수신단의 위상잡음은 τ만큼 지연된 자기 자신과의 차분으로 남는다. 억제량은 거리 10배마다 20 dB씩 풀리므로 근거리에서만 얻을 수 있고, 그 20 dB/decade 기울기 자체도 fτ ≪ 1 에서의 근사다 — 300 m 곡선이 오른쪽 끝에서 꺾여 올라가는 것이 그 근사가 깨지는 지점이다.

숫자를 넣어 보자. 10 kHz 오프셋 기준으로 3 m 표적($\tau = 20\,\mathrm{ns}$)은 −58.0 dB, 30 m는 −38.0 dB, 300 m는 −18.0 dB. 거리 10배마다 20 dB씩 풀린다.

단 그 20 dB/decade는 $f\tau \ll 1$ 구간의 기울기다. $f\tau$가 $1/2$에 이르면 $4\sin^2$이 최댓값 4를 찍어 억제가 아니라 +6 dB 증폭으로 뒤집히고, $f\tau$가 정수인 지점마다 깊은 널이 선다. 300 m 표적은 그 전환점이 250 kHz여서 그림 오른쪽 끝에 실제로 나타나지만, 골프 도플러 대역인 수 kHz에서는 세 곡선 모두 근사가 성립하는 구간 안에 있다.

감이 오는 숫자로: 10 kHz 오프셋에서 −85 dBc/Hz밖에 안 되는 값싼 24 GHz VCO가, 3 m 표적에 대해서는 실효 −143 dBc/Hz가 된다. 저가 발진기로 0.1°급 위상 간섭계를 세울 수 있는 물리적 근거가 이것이고, 동시에 그 이득은 근거리에서만 유효하다.

레인지 상관은 CW의 특권이 아니다. FMCW의 dechirp 수신단에도 똑같이 적용되며, 거기서는 근거리 클러터의 위상잡음이 인접 거리 빈의 약한 표적을 덮는 동적 범위 문제로 나타난다.

62.6 dB 누설을 견디는 이유

CW의 가장 큰 약점을 살펴본다. CW는 송신과 수신을 끊임없이 동시에 하므로 TX 누설이 상수처럼 존재한다. 송신 +10 dBm에 안테나 간 격리 30 dB면 믹서 입력에 −20 dBm이 상주한다. 반대편에는 3 m 골프공 에코 −82.6 dBm이 있다(5절 링크 버짓에서 0편 7절의 레이다 방정식에 대입해 항별로 분해한다). 방해물이 신호보다 62.6 dB 크다. 펄스 레이다라면 거리 게이트로 잘라내면 그만이지만 CW에는 거리 게이트가 없다.

그런데도 이 구조가 동작하는 이유가 레인지 상관이다. 누설 경로는 $\tau \approx 0$이라 위상잡음이 거의 완벽히 상관되어 소거되고, 남는 것은 대부분 DC다. 62.6 dB짜리 방해물이 0 Hz에 못 박히고 공의 도플러는 10.7 kHz에 선다. 주파수로 갈라지므로 AC 커플링 한 번이면 끝난다.

AM 잡음에는 정반대로 작용한다: 같은 $\tau \to 0$ 극한이 진폭 쪽에서는 이득이 아니라 손해가 된다. 믹서는 위상은 빼지만 진폭은 곱하므로, 기저대역에 남는 것이 $A(t)A(t-\tau) \to A^2(t)$다. 상대 AM 요동은 상쇄되기는커녕 6 dB 커진 채 DC 옆에 남는다.

숫자로는 이렇다. −20 dBm 누설에 AM 잡음이 −150 dBc/Hz면 −164 dBm/Hz이고, 이 예산의 열잡음 −162 dBm/Hz와 거의 같은 높이다. 레인지 상관이 손댈 수 있는 항이 아니므로 발진기를 고를 때 위상 잡음만 보면 안 된다.

대가도 있다. 그 DC를 지우는 필터의 코너가 곧 최소 측정 속도이고, 상주하는 −20 dBm이 프런트엔드 이득의 상한을 정해 동적 범위를 묶는다. 그리고 열잡음 바닥만 보고 안심하면 안 된다. 직접 변환 믹서의 1/f 코너는 부품에 따라 수십 kHz까지 올라가는데, 골프 도플러 대역이 정확히 그 안이다. 실제 잡음 바닥은 플리커와 이동 클러터가 정한다. 계산으로는 여기까지고, 나머지는 실측이다.

그리고 이 지점에서 FMCW가 유리해질 수 있다. 다만 무조건이 아니라 조건부다. FMCW가 플리커를 피하는 것은 비트 주파수 $f_b = 2SR/c$가 코너 위로 올라갈 때뿐인데, 그 값을 정하는 것은 파형이 아니라 기울기와 거리다. 뒤에 쓸 6.25 MHz/µs로도 1 m 표적은 42 kHz 안팎이고, $T_c = 200\,\mathrm{\mu s}$짜리 느린 램프(1.25 MHz/µs)라면 3 m조차 25 kHz라 그대로 코너 안이다. 정확한 비대칭은 이렇다. FMCW는 기울기를 키워 비트 주파수를 코너 위로 올릴 수 있지만, CW는 도플러 위치를 표적이 정하므로 그런 수단이 없다.

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5. 24 GHz 도플러로 골프공을 볼 때 나오는 숫자

앞의 산수가 무엇을 뜻하는지 한 시스템에 전부 대입해 본다. 24 GHz ISM 대역, $\lambda = 12.5\,\mathrm{mm}$, 표적은 임팩트 직후의 클럽 헤드와 골프공, 수신 3채널.

대역 — 오디오 코덱에 들어간다

표적	속도	도플러
클럽 헤드	45 m/s	7,200 Hz
골프공	67 m/s	10,720 Hz
간격	22 m/s	3,520 Hz

24 GHz 레이다의 신호 대역 전체가 오디오 코덱 통과 대역 안에 들어간다. $f_s = 50\,\mathrm{kHz}$면 $v_{\max} = \lambda f_s/4 = 156.25\,\mathrm{m/s}$로 전 범위를 여유롭게 덮는다.

같은 범위를 FMCW로 얻으려면 $T_c \le \lambda/(4 \times 67) = 46.6\,\mathrm{\mu s}$가, 뒤에 나올 ±6 m/s 스핀 측대역까지 접히지 않게 하려면 73 m/s 기준으로 42.8 µs가 필요하다. 그래도 fast-chirp 설정에서 무리한 값은 아니다 — 250 MHz를 40 µs에 쓸면 기울기가 6.25 MHz/µs이고 3 m 표적의 비트 주파수가 125 kHz라 요즘 칩에는 여유롭게 들어간다. 즉 FMCW가 이 표적을 못 본다는 말이 아니다. 접기의 대가가 드러나는 것은 $T_c$를 길게 잡을 때다. 예를 들어 $T_c = 200\,\mathrm{\mu s}$면 $v_{\max}$가 15.625 m/s라서 67 m/s 공이 두 바퀴 접혀 +4.5 m/s로 읽힌다. 정확한 진술은 “FMCW로는 안 된다”가 아니라 “FMCW는 이 창을 확보하는 설계를 따로 사야 하고, CW는 그 비용이 0이다”이다.

그림 4. 같은 축척으로 그린 두 개의 속도 축. 접지 않은 CW의 창은 ±156 m/s로 공을 여유롭게 담지만, Tc = 200 µs로 접은 FMCW의 창은 ±15.6 m/s라 공이 두 바퀴 감겨 엉뚱한 위치로 읽힌다.

링크 버짓

골프공을 광학 영역의 도체 구로 근사하면($2\pi a/\lambda = 10.7$이므로 광학 영역이 맞다) RCS는 기하 단면적으로 잡힌다.

\[\sigma \approx \pi a^2 = \pi (0.02135)^2 = 1.43\times 10^{-3}\,\mathrm{m^2} = -28.4\,\mathrm{dBsm}\]

단 이건 완전 도체 구의 값이다. 골프공은 $\varepsilon_r \approx 2.4$쯤이라 앞면 정반사만 세도 $\lvert\Gamma\rvert^2 \approx 0.05$, 즉 13 dB 아래에서 시작하고 거기에 딤플 산란과 내부 반사가 자세에 따라 오르내리며 얹힌다. 상한이라기보다 기준값으로 잡고 실측으로 좁힐 값이며, 13 dB를 깎아도 아래 결론은 그대로다.

이제 0편 7절의 레이다 방정식에 $P_t = 10\,\mathrm{dBm}$, $G = 13\,\mathrm{dBi}$, $R = 3\,\mathrm{m}$를 넣는다.

\[P_r = \frac{P_t\, G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4}\]

dB로 옮기면 곱셈과 나눗셈이 전부 덧셈과 뺄셈이 되므로, 어느 항이 얼마나 먹는지가 한눈에 보인다.

항	값	dB
송신 전력 $P_t$	10 mW	+10.00
송신 이득 $G_t$	13 dBi	+13.00
수신 이득 $G_r$	13 dBi	+13.00
$\lambda^2$	(12.5 mm)²	−38.06
RCS $\sigma$	$1.43\times10^{-3}$ m²	−28.44
$(4\pi)^3$	1,984	−32.98
$R^4$	(3 m)⁴ = 81	−19.08
수신 전력 $P_r$		−82.56 dBm

$R^4$ 항이 −19 dB에 그치는 것이 근거리 센서의 특권이다. 같은 표적이 30 m에 있었다면 이 항만으로 −59 dB가 되어 40 dB가 더 빠진다. 0편 7절에서 “탐지 거리 10배에 40 dB”라고 쓴 것이 여기 그대로 나타난다.

$T = 10.24\,\mathrm{ms}$(빈 폭 97.7 Hz), NF 12 dB면 열잡음 바닥이 $-174 + 19.9 + 12 = -142.1\,\mathrm{dBm}$이고 SNR은 59.5 dB다. 이 시스템은 열잡음 제한이 아니다.

그림 5. 임팩트 직후 CW 기저대역 스펙트럼의 모습. 0 Hz의 누설 스파이크와 1/f 잡음, HPF가 만드는 사각지대, 클럽과 공의 두 피크, 공 양옆의 스핀 측대역, 그리고 I/Q 불균형이 만드는 반대편 이미지가 한 화면에 들어 있다.

관측 시간의 상한

창을 길게 잡으면 $\Delta v$가 좋아진다는 계산은 정상 표적에서만 맞다. 공은 감속한다. 항력을 계산해 보자($\rho = 1.225$, $C_D \approx 0.25$, $A = \pi a^2$, $m = 45.93\,\mathrm{g}$).

\[D = \tfrac{1}{2}\rho v^2 C_D A \approx 0.98\,\mathrm{N} \;\Longrightarrow\; a \approx 21.4\,\mathrm{m/s^2}\]

이 감속이 관측 창 안에서 도플러를 흐르게 한다. 슬루는 $2\ddot R/\lambda$이고, 창 안에서 주파수가 한 빈 이상 흐르지 않으려면 $(2\ddot R/\lambda)\,T^2 \le 1$이어야 한다. 시선과 진행 방향이 일치한다고 두면 $\ddot R = -a$이므로,

\[T \;\le\; \sqrt{\frac{\lambda}{2a}} \;\approx\; 17\,\mathrm{ms}\]

40.96 ms 창을 쓰면 피크가 여러 빈에 걸쳐 번진다. 속도 분해능의 실제 한계는 ADC가 아니라 표적의 비정상성이다.

기하 항이 항력보다 클 수 있다: 위 17 ms는 시선과 진행 방향이 일치할 때($\psi = 0$)의 값이다. $\ddot R$은 항력 감속 그 자체가 아니라 시선 거리의 2차 미분이라, 둘이 $\psi$만큼 어긋나 있으면 등속 직선 운동만으로도 기하 항이 붙는다.

\[\ddot R = -a\cos\psi + \frac{v^2\sin^2\psi}{R}\]

3 m라는 근거리에서 이 항이 작지 않다. $\psi = 10°$면 기하 항만 45 m/s²로 항력(21.4)의 두 배다. 두 항은 부호가 반대라 5°에서는 서로 지워 순 가속도가 오히려 10 m/s²로 줄지만, 15°를 넘으면 80 m/s²까지 올라가 상한 $T$가 절반 아래로 내려간다. 기하 항이 $1/R$로 빠지므로 임팩트 직후 몇 프레임에만 집중되는 제약이다.

그래서 512 샘플(10.24 ms) 창을 75% 겹쳐 2.56 ms마다 뽑는 STFT가 자연스럽다. 공이 빔에 머무는 시간이 60 ms 남짓이라면 20개 이상의 추정치가 나오고, 임팩트 시점으로 역외삽할 궤적을 그리려면 이 개수가 결정적이다.

여기서 FMCW를 불리하게 적으면 안 된다. 프레임률은 파형의 성질이 아니라 설계 선택이다. 40 µs짜리 chirp를 쉬지 않고 쏘면서 CPI를 같은 10.24 ms(chirp 256개)로 잡고 64 chirp(2.56 ms)씩 미끄러뜨리면 FMCW도 같은 개수를 낸다. 이 설정이면 $v_{\max} = \lambda/4T_c = 78.1\,\mathrm{m/s}$라 스핀 측대역까지 창 안에 들어온다. 다만 그러려면 프레임 간 유휴가 없는 설계와 그만큼의 데이터 처리량을 사야 하고, 50 Hz로 도는 기성 모듈을 그대로 쓰면 같은 구간에서 3개에 그친다. 차이는 파형이 아니라 그 설계를 살 것인가에 있다.

분해능과 정확도는 다른 말이다

10.24 ms 창의 $\Delta v$는 0.61 m/s로 거칠다. 그런데 앞의 59.5 dB를 그대로 믿지 않고 플리커와 이동 클러터까지 감안해 실효 SNR을 30 dB로 깎아 잡아도, 단일 톤 주파수 추정의 CRLB는 전혀 다른 숫자를 준다.

\[\sigma_v = \frac{\lambda}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{2\pi T \sqrt{\mathrm{SNR}}} \approx 7.5\,\mathrm{mm/s}\]

빈 간격보다 80배 정밀하다. 물론 이 하한은 백색 잡음 속 정상 톤에 대한 것이라 여기 표적에 그대로 붙지는 않는다 — 창 안에서 3,430 Hz/s로 흐르니 10.24 ms면 35 Hz, 속도로 0.22 m/s를 미끄러지고, 그러면 추정되는 값은 순간 속도가 아니라 창 평균 속도다. 분해능은 “둘을 가를 수 있는가”이고 정확도는 “하나를 얼마나 정확히 짚는가”이며, 표적이 하나뿐이면 후자만 필요하다. 그리고 이 정밀도는 금방 무의미해진다. 시선과 진행 방향이 5°만 어긋나도 $v(1-\cos 5°) = 0.25\,\mathrm{m/s}$의 기하 오차가 들어온다. 7.5 mm/s를 다투는 것보다 각도를 제대로 아는 쪽이 30배 넘게 중요하다.

감이 오는 숫자로: 백스핀 2,700 rpm이면 공 표면의 접선 속도가 $2\pi n a = 6.0\,\mathrm{m/s}$이고, 이것이 주 피크 양옆 $\pm 966\,\mathrm{Hz}$에 측대역으로 나타난다. 스핀을 도플러 스펙트럼에서 직접 읽을 수 있는 이유다. 다만 이 측대역을 주 피크와 갈라 보려면 빈 폭 $1/T$가 966 Hz보다 작아야 하므로 $T > 1\,\mathrm{ms}$라는 하한이 붙는다. 앞의 17 ms 상한과 합치면 창 길이는 위아래로 동시에 제한된 좁은 구간으로 정해지고, 10.24 ms는 그 안에서의 선택이다.

각도 — 간격 하나가 정밀도와 모호성을 동시에 정한다

수신 채널 간 위상차로 각도를 얻는 관계식은 파형과 무관하게 성립한다.

\[\Delta\phi = \frac{2\pi d \sin\theta}{\lambda} \qquad \Longrightarrow \qquad \theta = \arcsin\!\Big(\frac{\Delta\phi\,\lambda}{2\pi d}\Big)\]

문제는 $\lvert\Delta\phi\rvert \le \pi$여야 $\theta$가 유일하게 정해진다는 것이다. 원칙은 $d \le \lambda/2$이고, $d$를 키우면 같은 위상 오차가 더 작은 각도 오차로 환산되어 정밀도는 좋아지지만 유일 구간이 좁아진다. 0편 5절에서 배열 소자 간격을 $\lambda/2$로 두는 근거로 든 격자엽이 간섭계 쪽에서는 이렇게 보인다.

그림 6. 3채널 ‘ㄴ’ 배치의 기하와, 간격 d에 따른 위상차 곡선. d = λ/2면 전 시야가 유일하게 풀리지만 기울기가 완만해 정밀도가 낮고, d를 키우면 기울기가 가팔라지는 대신 곡선이 여러 번 감긴다.

24 GHz에서 $d = 10\,\mathrm{cm}$면 $d/\lambda = 8$이라 정밀도는 16배 좋아지지만 유일 구간이 $\pm\arcsin(\lambda/2d) = \pm 3.6°$로 좁아진다. 티에서 정해진 원뿔로만 날아가는 표적이라면 이 좁은 구간이 비용이 아니지만, 시야가 넓어야 하는 응용이라면 그대로 제약이 된다. 실제 3채널 구현은 3채널 레이다 센서로 스핀축 계산하기에 정리해 두었다.

계산을 어떻게 확인하는가

여기까지는 전부 계산이다. 확인하는 절차가 없으면 사양이라고 할 수 없다. 최소한 이 셋은 실측으로 잡아야 한다.

• 잡음 바닥. 아무도 없는 상태로 몇 분간 기저대역 스펙트럼을 기록하면 0 Hz의 누설 스파이크, 그 옆으로 내려오는 플리커 잡음, 관심 대역의 실제 바닥이 한 화면에 다 보인다. 이 스펙트럼 한 장이 앞의 어떤 계산보다 파형 선택에 도움이 된다.
• I–Q 궤적. 산점도로 그대로 찍어 본다. 원점 중심의 원호가 아니라 중심이 밀린 타원이면 DC 오프셋과 I/Q 불균형이 남아 있다는 뜻이고, 그 상태에서 atan2를 씌운 위상은 이미 왜곡되어 있다. 원 피팅으로 중심을 잡은 전후를 비교하는 것이 arctangent 복조의 표준 점검이다.
• 채널 간 위상 오프셋. 각도 정밀도의 실제 한계는 열잡음이 아니라 채널 간 오프셋이고, 그 값은 온도에 따라 흐른다. 알려진 방위에 기준 표적을 두고 측정한 오프셋을 상수로 빼되, 세션 시작과 한 시간 뒤의 차이를 로그로 남겨야 각도 사양을 온도 조건과 함께 적을 수 있다.

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6. CW와 FMCW 사이의 선택지

두 파형 사이에도 선택지가 있다. 축은 하나다. 대역폭을 얼마나 살 것인가, 그리고 그 대가로 도플러 축을 얼마나 접을 것인가.

2주파 CW(FSK)

톤 두 개를 $\Delta f$만큼 떨어뜨려 번갈아 쏘고, 같은 도플러 빈에서 두 톤의 위상차를 재면 거리가 나온다.

\[R = \frac{c\,\Delta\phi}{4\pi\Delta f}, \qquad R_{\mathrm{unamb}} = \frac{c}{2\Delta f}, \qquad \sigma_R = \frac{c\,\sigma_{\Delta\phi}}{4\pi\Delta f}\]

$\Delta f = 10\,\mathrm{MHz}$면 비모호 거리 15 m, 위상 잡음 0.1 rad 기준 거리 표준편차 24 cm다. 여기서 앞의 구분이 분명해진다. 같은 10 MHz를 FMCW로 쓰면 분해능이 15 m인데, FSK로 쓰면 정확도가 24 cm다. 24 cm를 분해능으로 얻으려면 $B = c/2\Delta R = 628\,\mathrm{MHz}$가 필요하다. 다만 이걸 “대역 60배를 아꼈다”로 읽으면 안 된다 — 같은 10 MHz를 FMCW로 써도 단일 표적의 거리 정확도는 수십 cm급으로 나온다. 두 톤이 대역 양 끝에 에너지를 몰아 주는 만큼 $\beta_{\mathrm{rms}}$가 $\sqrt{3}$배 유리할 뿐이고, 60배는 분해능을 포기해서 생긴 차이지 FSK가 얻어낸 것이 아니다. FSK의 값은 CW 하드웨어를 거의 그대로 두고 조대 거리 하나를 얹는다는 데 있다.

물론 같은 도플러 빈에 표적이 둘 이상 들어오면 위상차가 두 반사의 벡터 합이 되어 어느 쪽 거리도 가리키지 않는다. 반대로 속도가 다른 표적은 각자의 빈에서 각자의 거리를 그대로 내놓으므로, 클럽과 공처럼 3,520 Hz 떨어져 있으면 두 거리가 다 나온다. 정확히 “분해능은 사지 않았다”는 뜻이다. 7절이 맨 앞에 놓는 질문 — 같은 시선 속도를 가진 표적을 서로 분리해야 하는가 — 과 조건이 정확히 같다. 그래도 CW 하드웨어를 거의 그대로 두고 조대 거리 하나를 얹는 선택지라 먼저 검토할 후보이긴 하다.

다만 비용 축은 갱신해서 적어야 공평하다. 60/77 GHz의 단일칩 FMCW SoC는 램프 합성기·TX·다중 RX·ADC·DSP·CFAR까지 한 패키지에 들어 있어, 이산 소자로 CW 프런트엔드에 HPF 체인과 오디오급 ADC, RX 3채널과 채널 간 위상 캘리브레이션을 붙이는 것보다 BOM이 싸고 설계가 짧은 경우가 많다. 단 그건 그 대역의 집적도가 준 이득이지 파형이 준 이득이 아니다. 아래 규칙대로 반송파와 파형을 섞지 않으려면 24 GHz끼리 비교해야 하는데, 거기서는 램프 합성기와 더 빠른 ADC가 CW와 공통인 프런트엔드 위에 추가로 얹히므로 격차가 훨씬 좁거나 뒤집힌다. 어느 쪽이든 CW를 고르는 이유는 “싸고 단순해서”가 아니라 “접히지 않은 도플러 축과 근거리 레인지 상관이 필요해서”여야 한다.

이 계열의 확장도 정리해 두면, MFSK는 톤을 더 얹어 다중 표적까지 다루고, 삼각파는 상·하향 램프를 번갈아 쏴서 거리–도플러 결합을 대수적으로 풀며, interrupted CW는 송수신을 시분할해 누설을 줄이되 듀티를 희생한다.

혼동하지 말아야 할 두 축

반송파 선택과 파형 선택은 직교한다. 77 GHz CW도, 24 GHz FMCW도 실재한다. $\lambda$가 바꾸는 것은 도플러 감도와 안테나 크기이고, 파형이 바꾸는 것은 분해축의 개수다. 둘을 섞어 비교하면 어떤 결론도 검증할 수 없게 된다.

흔한 오해 하나 더. 듀티 100%는 CW의 특권이 아니다. fast-chirp FMCW도 사실상 연속 송신이며, 프레임 사이의 유휴는 파형이 아니라 프레임률 선택의 결과다.

그리고 2020년대의 실제 선택지는 “CW 대 FMCW”보다 “CW 간섭계 대 FMCW MIMO”에 가깝다. 다중 TX로 가상 배열을 만들면 각도에서 정밀도가 아니라 분해능이 생긴다. 이 차이는 중요하다 — 3채널 위상 간섭계는 각도 정확도가 뛰어나지만 각도 분해능은 사실상 0이라, 같은 도플러를 가진 산란점 두 개가 동시에 들어오면 위상 비교가 성립하지 않는다. 거리와 속도에 적용한 분해능/정확도 구분을 각도 축에서만 빼놓으면 안 된다.

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7. 결정 규칙과 정리

첫 질문은 “거리가 필요한가”가 아니다

먼저 물어야 할 질문은 “같은 시선 속도를 가진 표적을 서로 분리해야 하는가”다. CW의 진짜 한계는 거리를 모른다는 것이 아니라 분해축이 하나뿐이라는 것이고, 이렇게 적어야 정확하다.

1. 같은 속도의 표적을 갈라야 하는가 → 그렇다면 분해축을 하나 더 사야 한다. 대역폭으로 거리축을 사거나(FMCW·펄스), 다중 TX 가상 배열로 각도축을 사거나(MIMO) 둘 중 하나다. 거리까지 같은 표적이라면 남는 것은 각도축뿐이고, 각도 분해능을 정하는 것은 결국 개구 크기($\approx \lambda/D$)다. MIMO는 그 개구를 물리 RX 채널 수보다 싸게 사는 방법이지 유일한 방법은 아니다 — RX를 실제로 늘려도, 개구 큰 안테나로 빔을 좁혀 훑어도 같은 축이 생긴다.
2. 아니라면, 표적의 속도가 파형의 도플러 창을 넘는가 → CW는 접지 않으니 창이 원래 넓다. FMCW도 $T_c$를 줄이거나, $T_c$가 다른 두 chirp 세트로 풀거나, 3절의 항등식 $f_d T_c$가 거리축에 남기는 편향을 기울기가 다른 두 세트에서 비교해 읽어 풀 수 있다(삼각파의 상·하향 램프가 정확히 이것이다). 단일 세트의 겉보기 거리 하나로는 이 편향이 참 거리와 분리되지 않아 그것만으로는 풀리지 않는다. 즉 “FMCW는 못 한다”가 아니라 “FMCW는 창을 풀 설계를 추가로 사야 하고, CW는 그 비용이 0이다”가 정확한 진술이다.
3. 절대 거리 값이 필요한가 → 필요하면 FMCW로 가기 전에 FSK-CW를 먼저 검토한다.

항목	CW	FMCW
분해축	속도 하나	거리 + 속도
거리	얻지 못함 (상대 변위만)	$\Delta R = c/2B$
속도 분해능	$\lambda/2T$	$\lambda/2T$ (동일)
비모호 속도	$\lambda f_s/4$	$\lambda/4T_c$ ($N$배 좁다)
ADC 대역	최대 도플러 (수십 kHz)	최대 비트 주파수 (단거리 수백 kHz, 광대역 수 MHz) — 요즘은 칩 내장
발진기 요구	자유 발진 가능	램프 선형성이 곧 거리 정확도
정지 클러터	전부 0 Hz에 누적	거리 빈으로 분리됨
TX 누설	상수로 상주, DC로 떨어짐	근거리 빈에 국한
믹서 1/f	도플러가 어디 서는지를 표적이 정한다	기울기를 키워 $f_b$를 코너 위로 올릴 수 있다
동일 대역 간섭	차주파수로 얹혀 대개 대역 밖, 겹치면 수단이 얕다	흔들어 회피 가능, 대신 겹치면 전 거리 빈이 들린다
검출 단계	1차원 스펙트럼, 1D CFAR로 충분	2차원 맵, 2D CFAR 필수

같은 산수를 이 응용에 넣으면 왜 CW로 기우는가

임팩트 직후 수십 ms 동안 공과 클럽의 거리 차는 이 대역이 살 수 있는 분해능보다 작다. 5 cm를 가르려면 3 GHz가 필요한데 24 GHz ISM 대역은 250 MHz이고, 그 0.6 m 분해능에 도달하려면 22 m/s로 벌어지는 두 표적이 27 ms를 가야 한다 — 60 ms 관측 구간의 절반이다. 대역폭이 쓸모없는 것이 아니라, 가장 중요한 초기 구간에는 늦게 도착한다. 반면 도플러로는 첫 창부터 3,520 Hz 떨어져 있어 즉시 분리된다. 그리고 60 ms 안에 스무 개 넘는 추정치가 필요한데, 그 설계를 추가 비용 없이 얻는 쪽이 CW다.

그리고 CW의 알려진 약점들이 이 응용에서는 비용이 되지 않는다. 62.6 dB 누설은 레인지 상관 덕에 DC로 떨어져 HPF 하나로 지워지고, 그 대가로 잃는 1.875 m/s 아래에는 관심 있는 샷이 없다. ±3.6°의 좁은 유일 구간도 티에서 정해진 원뿔로만 날아가는 표적에게는 비용이 아니다.

요구사항이 하나만 바뀌면 결론도 바뀐다. 포기한 것들을 적어 두면 이렇다.

• 같은 도플러를 가진 클러터(스윙 중인 팔, 뒤에 선 사람)는 분리되지 않는다. 빔폭과 도플러 게이팅으로만 방어한다.
• 절대 거리가 없다. 각도만으로 3차원 궤적을 완성하려면 다른 사전 정보가 필요하다.
• 퍼팅처럼 느린 샷은 HPF 코너 아래로 내려가 놓친다.
• 공이 여러 개 동시에 날아가는 상황을 감당하지 못한다.

여기에 하나가 더 붙는다. 옆 타석에 같은 24 GHz CW 유닛이 서면 그 톤이 내 기저대역에 그대로 얹힌다.

다만 얹히는 자리를 따져 봐야 한다. 0 Hz도 도플러 대역도 아니고 두 발진기의 차주파수다. 자유 발진 24 GHz 두 대가 골프 대역(0–11 kHz) 안에서 만나려면 서로 0.46 ppm 안에 들어야 하는데, ±10 ppm 부품이면 차이가 수백 kHz라 안티에일리어싱 필터가 먼저 걸러낸다. 진짜 곤란한 것은 그 우연이 실제로 일어날 때, 그리고 옆 타석의 공 에코가 하필 대역 안에 떨어질 때다.

FMCW도 공짜는 아니다. 남의 chirp가 IF를 훑고 지나가면 그동안 모든 거리 빈의 바닥이 들린다. 다중 유닛은 양쪽 다 설계가 필요한 항목이지 한쪽이 일방적으로 유리하지 않다.

한 문단 정리

두 방식은 1편이 끝난 지점까지 완전히 같다. 갈라지는 곳은 그 IQ 스트림을 접느냐 하나다. 접는 대가는 정확히 $N$이고, 속도 분해능 $\lambda/2T$는 두 방식이 똑같다. CW가 사는 것은 분해능이 아니라 접히지 않은 도플러 축과 근거리 레인지 상관이며, 파형 선택은 취향이 아니라 요구사항에서 계산으로 따라 나온다.

3편에서는 CW 체인을 코드로 구현하며 DC 제거, 창, FFT, 피크 보간, 채널 위상차와 캘리브레이션까지 다룬다. 이 글에서 계산으로만 세운 값 — DC 노치의 폭, IRR 28.1 dB, CRLB 7.5 mm/s — 이 합성 신호에서 실제로 어떻게 나오는지도 거기서 확인한다. 시리즈 전체 지도는 목차에 있다.

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참고 자료

• M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, McGraw-Hill — 분해능·모호성·CRLB의 표준 레퍼런스
• M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, McGraw-Hill — CW·FM-CW 장의 고전적 정리
• A. Droitcour et al., “Range Correlation and I/Q Performance Benefits in Single-Chip Silicon Doppler Radars for Noncontact Cardiopulmonary Monitoring,” IEEE Trans. MTT, 2004 — 레인지 상관을 정량화한 원 논문
• B.-K. Park, O. Boric-Lubecke, V. M. Lubecke, “Arctangent Demodulation With DC Offset Compensation in Quadrature Doppler Radar Receiver Systems,” IEEE Trans. MTT, 2007 — CW arctangent 복조의 DC 오프셋 보상
• TI, The fundamentals of millimeter wave radar sensors — FMCW 체인의 파라미터 관계 정리