(Radar) 2. 탐지거리를 정하는 것 — 검출 문턱, 잡음 바닥, 그리고 펄스 적분

사양서에 “탐지거리 90 km” 라고 한 줄을 적는다고 하자. 설계 검토에서 반드시 따라오는 질문이 있다 — 어떤 표적을, 몇 퍼센트 확률로, 얼마나 자주 헛것을 보면서 90 km 에서 탐지한다는 것인가. 이 넷을 채우지 못하면 그 한 줄은 숫자가 아니라 희망이다.

1장은 그 숫자를 만드는 식을 세웠다. 기준 시스템의 값을 넣으면 거리에 따른 신호 대 잡음비가 직선 하나로 정리된다.

\[(\mathrm{SNR})_o\,[\mathrm{dB}] = 211.3 - 40\log_{10} R\]

앞의 211.3 dB 는 송신 전력과 안테나 이득, 표적 크기, 잡음 바닥을 전부 곱해 dB 로 펼친 상수항이고, 뒤의 항은 전파가 왕복하며 퍼져 나가는 몫이다. 검출에 SNR 13 dB 가 필요하다고 두면 두 값이 같아지는 거리가 답이다.

\[211.3 - 40\log_{10} R = 13 \qquad\Longrightarrow\qquad R = 10^{(211.3-13)/40} = 90.9\ \text{km}\]

이 90.9 km 가 이 장과 다음 장의 주인공이다. 그런데 이 값은 세 가지를 가정하고 나온 것이다.

• 표적이 자유공간에 하나만 떠 있다
• 그 표적의 반사 세기가 변하지 않는다
• 펄스 하나로 판정한다

그리고 위 식에 아예 들어가지 않은 것이 더 있다. 빔이 표적을 스치는 동안 여러 발을 쏜다는 것, 신호처리가 자기 몫을 떼어 간다는 것, 공기가 전파를 먹고 지구가 둥글다는 것.

이 장은 그중 두 가지만 본다 — “13 dB 는 어디서 온 값인가” 와 “여러 발을 쏘면 얼마나 좋아지는가”. 답부터 적으면 90.9 km 가 151.9 km 가 된다. 나머지 가정이 그 값을 어디까지 되가져가는지는 다음 글이다.

항목	기호	값	출처
첨두 전력	$P_t$	1.5 MW	1장
반송파	$f_0$	5.6 GHz ($\lambda$ = 53.53 mm)	1장
안테나 이득	$G$	45 dBi	1장
표적 RCS	$\sigma$	0.1 m²	1장
수신 대역폭	$B$	5 MHz	1장
잡음지수	$F$	3 dB	1장
하드웨어 손실	$L$	6 dB	1장
유효 개구	$A_e$	7.21 m² (지름 3.91 m)	1장에서 유도
빔폭	$\theta_{3\mathrm{dB}}$	0.96°	개구에서 유도
펄스 반복 주파수	PRF	1 kHz	이 장
안테나 회전	$\omega_m$	6 rpm (스캔 10 초)	이 장
판정 기준	$P_d$ / $P_{fa}$	0.9 / $10^{-6}$	이 장

이 글의 숫자는 전부 검산한 값이고, 그림도 실제로 계산해서 뽑은 결과다. 값은 $c = 299{,}792{,}458$ m/s, $k = 1.380649 \times 10^{-23}$ J/K 로 계산했다. 계산이 아니라 문헌에서 가져온 값은 그 자리에 밝혔다.

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1. 예측서가 답해야 하는 것은 $S_{\min}$ 하나다

성능예측서의 첫 장은 늘 탐지거리 식이다. 1장에서 쓴 형태 말고 개구 면적으로 쓴 형태도 자주 본다.

\[R_{\max} = \left[\frac{P_t\,G\,A_e\,\sigma}{(4\pi)^2\,S_{\min}}\right]^{1/4}\]

같은 식이다. 1장에서 본 $G = 4\pi A_e/\lambda^2$ 로 서로 옮겨간다. 기준 시스템의 $A_e = 7.21$ m² 를 넣어도 90.90 km 로 같은 값이 나온다.

두 형태가 다 쓰이는 이유는 파장이 어디로 들어가는지가 달라서다. 이득을 고정하고 보면 $R \propto \sqrt{\lambda}$ 라 낮은 주파수가 유리하고, 개구 크기를 고정하고 보면 $R \propto 1/\sqrt{\lambda}$ 라 높은 주파수가 유리하다. 같은 물리인데 결론이 반대인 것은 무엇을 붙잡고 보느냐가 다르기 때문이다. 함정이나 차량처럼 안테나가 들어갈 자리가 먼저 정해지는 체계에서는 뒤쪽이 맞다.

어느 형태로 쓰든 오른쪽 항은 대부분 값이 이미 정해져 있다. 송신 전력과 안테나 이득은 하드웨어가 주고, 파장은 대역 배정이 주고, RCS 는 표적이 준다. 정해져 있지 않은 것은 $S_{\min}$ 하나뿐이다.

$S_{\min}$ 은 “검출된다고 볼 수 있는 최소 수신 전력”인데, 이 값은 부품 카탈로그에 없다. 얼마나 자주 놓치고 얼마나 자주 속아도 되는지를 정해야 비로소 나오는 값이고, 그 결정은 하드웨어가 아니라 운용 요구에서 온다. 2절부터 4절이 이 값을 세우는 과정이고, 5절이 거기에 적분을 얹는다.

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2. 최소 탐지 신호 — 문턱은 부품이 아니라 정책이다

레이다 수신기가 마지막에 내놓는 것은 반송파가 아니라 포락선(envelope)이다. 수신 신호는 초당 수십억 번 진동하는 고주파인데 그 진동 자체에는 정보가 없다. 필요한 것은 “지금 얼마나 센 신호가 들어와 있는가”뿐이라 크기만 남기는데, 이 크기를 시간축에 그린 것이 1장 8절의 A-스코프 화면이다.

그림 1. 같은 문턱 하나가 검출·미검출·오경보를 동시에 정한다. 문턱을 내리면 C 가 보이는 대신 오른쪽 같은 오경보가 늘고, 올리면 그 반대다.

표적이 없어도 이 값은 0 이 아니다. 저항이 있는 모든 것이 열잡음을 내기 때문에 바닥이 늘 깔려 있고, 그 바닥은 매 순간 무작위로 오르내린다. 그래서 검출은 “신호가 있느냐”가 아니라 “지금 값이 미리 정한 문턱을 넘었느냐” 로 판정한다.

문턱 하나가 세 가지를 동시에 정한다.

• 검출 — 표적이 있고 문턱을 넘었다. 이 확률이 탐지 확률(probability of detection) $P_d$ 다.
• 미검출 — 표적이 있는데 못 넘었다. 확률은 $1 - P_d$ 다.
• 오경보(false alarm) — 표적이 없는데 잡음이 문턱을 넘었다. 이 확률이 오경보 확률 $P_{fa}$ 다.

그림 1 을 보면 문턱을 내리고 싶어진다. C 가 보이기 때문이다. 그런데 내리는 순간 오른쪽의 오경보 말고도 여러 개가 더 올라온다. 하나만 좋게 만드는 조작은 없다.

오경보 확률은 시간으로 바꿔 봐야 감이 온다

$P_{fa} = 10^{-6}$ 은 작아 보이지만 레이다에서는 헐거운 값이다. 대역폭 $B$ 인 수신기는 초당 대략 $B$ 번 독립적인 판정을 하므로, 오경보 사이의 평균 간격이 이렇게 된다.

\[T_{fa} = \frac{1}{B\,P_{fa}}\]

기준 시스템의 $B = 5$ MHz 를 넣으면 0.2 초다. 화면에 5 초에 한 번 유령을 띄우고 싶으면 $P_{fa} = 4\times10^{-8}$, 하루에 한 번이면 $2.3\times10^{-12}$ 이 필요하다.

그래서 $S_{\min}$ 은 요구사양을 dB 로 번역한 값이다. 운용 개념에서 “몇 초에 한 번까지 헛표적을 허용하는가” 와 “표적을 몇 퍼센트 확률로 잡아야 하는가” 가 먼저 정해지고, 그때 필요한 SNR 이 나오고, 그 다음에 탐지거리가 나온다. 순서가 반대가 아니다.

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3. 잡음 바닥 — 문턱을 어디에 둘지는 여기서 시작한다

문턱을 정하려면 잡음이 얼마나 큰지부터 알아야 한다. 1장에서 $N = kT_eB$ 로 한 줄 적고 넘어간 부분을 여기서 편다.

\[N = k\,T_0\,B_n\,F\]

$k$ 는 볼츠만 상수, $T_0 = 290$ K 는 0장 2절에서 본 약속된 기준 온도다. 남은 두 항이 이 절의 내용이고, 둘은 서로 다른 것을 센다. $B_n$ 은 잡음이 들어오는 문의 폭이고, $F$ 는 수신기가 스스로 얹는 몫이다.

그림 2. 왼쪽 — 같은 잡음을 통과시키는 직사각형의 폭이 $B_n$ 이다. 오른쪽 — 그 잡음의 크기는 사실상 맨 앞 소자 하나가 정한다.

잡음 대역폭은 3 dB 대역폭이 아니다

$B$ 자리에 데이터시트의 3 dB 대역폭을 넣는 것이 흔한 실수다. 열잡음은 모든 주파수에 고르게 깔려 있으므로 필터를 통과한 잡음의 총량은 응답 곡선 아래의 넓이 전체이고, 3 dB 아래로 떨어진 뒤에도 잡음은 계속 들어온다. 그래서 넓이로 정의한다.

\[B_n = \frac{\displaystyle\int_0^{\infty} \lvert H(f)\rvert^2\,df}{\lvert H(f_0)\rvert^2}\]

같은 넓이를 갖는 직사각형의 폭이라고 읽으면 된다. 가파른 필터에서는 3 dB 폭과 거의 같아서(5극 버터워스가 1.017 배) 실무에서 둘을 같다고 두는 것이 대개 맞다. 다만 단이 얕은 필터에서 그렇게 두면 잡음을 최대 2 dB 과소평가한다 — 1극 RC 는 실제 폭이 1.571 배다. 잡음 바닥이 계산보다 2 dB 높게 나오는데 원인을 못 찾는 상황이 여기서 나온다.

잡음지수는 맨 앞 소자가 정한다

수신기는 신호를 증폭하면서 자기 잡음을 얹으므로 출력의 SNR 은 입력보다 반드시 나쁘다. 그 비가 잡음지수(noise figure) $F$ 이고, 여러 단이 이어져 있으면 이렇게 합쳐진다.

\[F = F_1 + \frac{F_2-1}{G_1} + \frac{F_3-1}{G_1G_2} + \cdots\]

둘째 항부터 앞단의 이득 $G_1$ 으로 나뉜다는 것이 전부다. 첫 소자가 이득을 크게 벌어 놓으면 뒤의 잡음은 그만큼 묻힌다. 저잡음 증폭기(LNA)를 안테나 바로 뒤에 붙이는 이유가 이것이다.

대표적인 부품값(LNA 잡음지수 1.5 dB · 이득 25 dB, 믹서 잡음지수 8 dB · 변환 손실 7 dB, IF 증폭기 잡음지수 4 dB · 이득 30 dB)으로 계산해 보면 차이가 분명하다.

배치	전체 잡음지수	탐지거리
LNA 를 맨 앞에	1.62 dB	기준
LNA 앞에 급전 손실 1 dB	2.62 dB	×0.944
LNA 를 믹서 뒤로	9.24 dB	×0.645

부품은 그대로인데 순서만 바꿔도 7.62 dB 가 벌어지고, 탐지거리로는 35 % 가 사라진다.

실무에서 더 자주 만나는 것은 둘째 줄이다. LNA 앞에 있는 손실은 그대로 잡음지수에 더해진다. 레이돔 0.3 dB, 회전 결합기 0.5 dB, 마스트까지 올라가는 급전선 1 dB 는 “신호가 1.8 dB 약해지는” 문제가 아니라 “잡음지수가 1.8 dB 나빠지는” 문제이고, 탐지거리로는 9.7 % 다. 1장 8절에서 “케이블 1 dB 가 탐지거리 5.6 % 를 깎는다” 고 적은 값의 근거가 여기 있다.

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4. 필요한 SNR 은 $P_d$ 와 $P_{fa}$ 가 정한다

잡음 바닥을 알았으니 이제 문턱을 몇 dB 위에 둘 것인지 정할 차례다.

잡음만 있을 때 포락선은 레일리 분포(Rayleigh distribution)를 따른다.

\[p(v) = \frac{v}{\psi}\exp\!\left(-\frac{v^2}{2\psi}\right)\]

$\psi$ 가 잡음 전력이다. 문턱 $T$ 를 넘을 확률을 적분하면 놀랄 만큼 간단한 꼴이 나온다.

\[P_{fa} = \exp\!\left(-\frac{T^2}{2\psi}\right) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{T^2}{2\psi} = \ln\frac{1}{P_{fa}}\]

문턱은 $P_{fa}$ 의 로그에만 비례한다. $P_{fa}$ 를 $10^{-6}$ 에서 $2.3\times10^{-12}$ 로 백만 배 조여도 문턱은 11.40 dB 에서 14.28 dB 로 2.9 dB 만 올라간다. 오경보는 값싸게 줄일 수 있다.

신호가 있으면 분포가 라이스 분포(Rician distribution)로 바뀌어 오른쪽으로 밀린다. 밀린 정도가 곧 SNR 이고, 문턱 오른쪽에 남은 넓이가 $P_d$ 다.

그림 3. 왼쪽 — 잡음만 있을 때(회색)와 신호가 있을 때(파랑)의 분포. 오른쪽 — 그 관계를 SNR 축으로 펼치면 필요한 SNR 이 바로 읽힌다.

두 확률을 정하면 필요한 SNR 이 하나로 결정된다. 제곱법칙 검파기와 요동하지 않는 표적을 가정하고 정확히 풀면 이렇다.

$P_{fa}$ \ $P_d$	0.50	0.90	0.99
$10^{-4}$	9.4 dB	11.7 dB	13.3 dB
$10^{-6}$	11.2 dB	13.2 dB	14.5 dB
$10^{-8}$	12.5 dB	14.2 dB	15.4 dB

1장에서 “필요 SNR 을 13 dB 로 잡으면” 이라고 쓴 값의 정체가 표 가운데의 13.2 dB 다.

표를 가로로 읽는 것과 세로로 읽는 것의 감각이 완전히 다르다는 점이 중요하다.

• 가로($P_d$)로는 예민하다. 12 dB 에서 $P_d$ 가 0.68, 13.2 dB 에서 0.90, 14.5 dB 에서 0.99 다. 1 dB 가 사양을 뒤집는다.
• 세로($P_{fa}$)로는 둔감하다. 오경보를 만 배 조여도 2.5 dB 다.

그래서 실무의 순서는 이렇게 된다. $P_{fa}$ 는 화면과 추적기가 감당할 수 있는 만큼 넉넉히 조여 두고, 예산은 $P_d$ 에 쓴다.

그리고 요구사양에 $P_d$ 를 적을 때는 그 값이 어떤 표적에 대한 것인지를 반드시 함께 적어야 한다. 다음 장에서 보겠지만 표적이 요동하기 시작하면 같은 $P_d$ 를 얻는 데 드는 값이 완전히 달라진다. “$P_d$ 0.9” 만 적힌 사양서는 검증할 수 없는 문장이다.

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5. 적분 — 예산에서 유일하게 거리를 늘려 주는 항

지금까지는 펄스 하나로 판정한다고 가정했다. 실제로는 그렇지 않다. 안테나가 돌면서 빔이 표적을 스치는 동안 여러 발이 맞고, 그것을 모으면 문턱을 낮출 수 있다.

빔폭을 훑고 지나가는 시간에 PRF 를 곱하면 개수가 나온다.

\[n_B = \frac{\theta_{3\mathrm{dB}}\cdot \mathrm{PRF}}{6\,\omega_m}\]

$\theta_{3\mathrm{dB}}$ 는 도, $\omega_m$ 은 분당 회전수이고 분모의 6 은 rpm 을 초당 도로 바꾸는 상수다. 기준 시스템(빔폭 0.96°, PRF 1 kHz, 6 rpm)에 넣으면 26.6 개다.

그림 4. 위상을 지킨 채 더하면 $10\log N$ 만큼 정직하게 오르고, 크기만 더하면 그보다 덜 오른다. 세로 점선이 이 시스템의 26 펄스다.

위상을 지키느냐가 갈림길이다

코히어런트 적분(coherent integration)은 복소 신호를 위상까지 유지한 채 더한다. 표적 신호는 매번 같은 방향이라 진폭이 $N$ 배가 되고, 잡음은 방향이 무작위라 전력만 $N$ 배가 된다. 결과적으로 SNR 이 정확히 $N$ 배, dB 로는 $10\log_{10}N$ 만큼 오른다. 26 펄스면 14.15 dB 다.

비코히어런트 적분(noncoherent integration)은 포락선을 취한 뒤 크기만 더한다. 위상을 버렸으므로 잡음도 같이 쌓여 이득이 그보다 작다.

$N$	펄스당 필요 SNR	코히어런트	비코히어런트	거리 배수
1	13.18 dB	—	—	×1.00
10	5.27 dB	10.00 dB	7.92 dB	×1.58
26	2.41 dB	14.15 dB	10.77 dB	×1.86
100	−1.26 dB	20.00 dB	14.44 dB	×2.30

크기만 더하는 값싼 처리로도 26 발에 10.8 dB 를 얻고, 탐지거리로는 1.86 배가 된다. 1장의 4제곱근 환율이 그대로 적용된 결과다.

코히어런트 적분이 가능하려면 수신단이 위상을 잃지 않는 구조여야 하고, 한 묶음으로 처리하는 구간 안에서는 펄스 반복 주기를 고정해야 한다. 그 조건을 사는 값이 3.4 dB, 거리로는 22 % 다. 어떤 수신 구조가 그것을 가능하게 하는지는 뒤에서 다룬다.

그런데 26 발이 전부 빔 정면에서 오지는 않는다

빔이 표적을 스칠 때 첫 발과 마지막 발은 빔 가장자리에서 맞는다. 이득이 정점보다 낮으므로 그만큼 덜 받고, 이 몫이 빔 모양 손실(beam-shape loss)이다. 가우시안 빔을 가정해 빔폭 안의 왕복 이득을 평균하면 1.67 dB 가 나온다. 레이다 문헌에서 관례로 쓰는 1.6 dB 가 이 값이다.

적분으로 번 10.77 dB 중 1.67 dB 를 즉시 돌려주는 셈이다. 이득 하나에 손실 하나가 딸려 오는 이 구조가 성능예측서 전체의 모습이기도 하다.

체류 시간은 유한한 예산이다

$n_B$ 를 늘리려면 빔이 표적에 오래 머물러야 하는데, 회전 안테나에서 그 시간은 회전 속도가 정한다. 천천히 돌면 더 멀리 보지만 표적 정보가 늦게 갱신되고, 빨리 돌면 반대다. 기계식 회전 안테나에서 탐지거리와 갱신율은 같은 예산을 두고 싸운다.

이 상충은 빔을 전자적으로 옮길 수 있게 되어야 비로소 설계 변수가 된다. 표적마다 다른 시간을 배분할 수 있으면 중요한 표적에 체류 시간을 몰아줄 수 있기 때문인데, 그쪽은 뒤에서 다룬다.

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6. 정리

절	핵심
1	탐지거리 식에서 정해져 있지 않은 항은 $S_{\min}$ 하나뿐이다
2	문턱 하나가 검출·미검출·오경보를 동시에 정한다. 하나만 좋게 하는 조작은 없다
3	잡음 대역폭은 넓이로 정의되고, 잡음지수는 맨 앞 소자가 정한다
4	필요 SNR 은 $P_d$ 에 예민하고 $P_{fa}$ 에 둔감하다
5	적분이 예산에서 유일하게 거리를 늘려 준다. 대신 빔 모양 손실이 딸려 온다

여기까지의 계산을 이어 붙이면 이렇게 된다.

단계	변화	누적	탐지거리
1장의 결론 — 자유공간·비요동·단일 펄스	—	13.00 dB	90.9 km
필요 SNR 을 정확히 (13 → 13.18 dB)	+0.18	13.18 dB	90.0 km
빔 통과 26 펄스 비코히어런트 적분	−10.77	2.41 dB	167.2 km
빔 모양 손실	+1.67	4.08 dB	151.9 km

안테나도 송신관도 그대로인데 거리가 67 % 늘었다. 그리고 여기까지가 좋은 소식이다.

되돌아오게 될 것은 셋이다.

1. $S_{\min}$ 은 부품 사양이 아니라 요구사양이다 — $P_d$ 와 $P_{fa}$ 를 정해야 나오는 값이다
2. $P_d$ 1 dB 가 사양을 뒤집는다 — 12 dB 에서 0.68, 13.2 dB 에서 0.90, 14.5 dB 에서 0.99
3. 적분만이 거리를 늘려 준다 — 26 펄스에 10.8 dB, 거리 1.86 배

그런데 아직 걷어내지 않은 가정이 셋 남아 있다. 표적의 반사 세기가 변하지 않는다는 것, 신호처리가 공짜라는 것, 전파가 자유공간을 간다는 것. 그 셋을 걷어내면 151.9 km 가 어디까지 내려가는지는 다음 글로 넘긴다.

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참고 자료

• M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, McGraw-Hill — 최소 탐지 신호, 수신기 잡음, 펄스 적분의 고전적 정리
• M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, McGraw-Hill — 검출 이론, 문턱과 확률밀도함수, 적분 이득
• J. I. Marcum, “A Statistical Theory of Target Detection by Pulsed Radar,” IRE Trans. IT, 1960 — 비요동 표적의 탐지 확률과 Marcum Q 함수
• L. V. Blake, Radar Range-Performance Analysis, Artech House — 잡음 온도와 탐지거리 계산의 표준 절차
• D. K. Barton, Radar System Analysis and Modeling, Artech House — 링크 예산 작성법과 빔 모양 손실