(Radar) 4. PW 레이다 — 펄스로 거리를 재는 법

0편부터 3편까지는 계속 송신하는 파형만 다뤘다. 이 글은 PW(Pulsed Wave) 레이다 — 짧게 쏘고 오래 듣는 쪽으로 넘어간다. 감시, 추적, 사격 통제, 기상, 항공 관제까지 “레이다”라고 부르는 장비의 다수가 여기 속한다.

핵심은 한 줄로 요약된다. CW 가 갖지 못한 시간 표식을 펄스는 파형 자체로 들고 있다. 켜짐과 꺼짐이라는 사건이 시계의 눈금이 되므로, 왕복 시간을 직접 재서 거리를 얻는다. 나머지는 전부 그 대가를 치르고 관리하는 이야기다.

이 글의 기준 시스템은 앞 편들과 다르다. 0~3편은 24 GHz 근거리 CW 였지만, 여기서는 X 밴드 감시 레이다를 기준으로 잡는다. 숫자 감각이 완전히 달라진다.

항목	기호	값
반송파	$f_0$	9.5 GHz (X 밴드)
파장	$\lambda$	31.56 mm
펄스 폭	$\tau$	10 µs
변조 대역폭	$B$	10 MHz
펄스 반복 주파수	PRF	1 kHz
첨두 전력	$P_t$	10 kW
안테나 이득	$G$	35 dBi

이 글의 숫자는 전부 공개된 교과서 파라미터로 세운 설계 계산이다. 특정 장비의 사양이 아니고, 값은 $c = 299{,}792{,}458$ m/s 로 계산했다. 어디까지가 물리이고 어디부터가 설계 선택인지를 매 절에서 갈라 적었다.

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1. 왜 펄스인가

2편 1절의 결론은 이랬다. 변조 없는 반송파에는 시간 표식이 없어서 지연이 상수 위상 하나로만 남고, 그마저 $2\pi$ 로 감긴다. 그래서 단일 톤 CW 는 거리를 원리적으로 얻지 못한다.

펄스는 그 문제를 가장 직접적인 방법으로 푼다. 송신을 껐다 켜는 것 자체가 표식이다. 켜진 순간을 0으로 놓고 에코가 들어온 순간까지의 시간을 세면 그게 왕복 시간이다.

\[R = \frac{c\,\tau_{\text{왕복}}}{2}\]

FMCW 처럼 주파수를 훑어 표식을 만드는 방법도 있는데, 그쪽은 표식이 신호 안에 들어 있어 송신과 수신이 겹친다. 펄스는 표식이 시간축에 있으므로 송신과 수신을 아예 시분할한다. 이 구조적 차이가 세 가지 결과를 낳는다.

첫째, TX 누설 문제가 사라진다. 2편 4절에서 CW 는 −20 dBm 누설이 −82.6 dBm 신호 위에 62.6 dB 로 상주한다고 했다. 펄스 레이다는 송신하는 동안 수신기를 닫아 버린다. 안테나 하나로 송수신하더라도 듀플렉서와 T/R 스위치가 시간으로 갈라 준다.

둘째, 거리 게이트가 생긴다. 에코가 도착한 시각이 곧 거리이므로, 시간축을 잘라 놓으면 그대로 거리 구간이 된다. CW 가 갖지 못한 이 축 하나가 클러터 처리부터 다중 표적 분리까지 전부를 바꾼다. 2편 7절의 첫 질문 — “같은 시선 속도의 표적을 분리해야 하는가” — 에 대한 가장 흔한 답이 이것이다.

셋째, 대가가 둘 생긴다. 송신 중에는 못 듣고, 다음 펄스가 나가 버리면 몇 번째 펄스의 메아리인지 알 수 없다. 이 둘이 다음 절의 두 개의 벽이다.

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2. 펄스 열이 세우는 두 개의 벽

0편 8절에서 듀티 사이클로 한 번 훑은 내용을 여기서 제대로 편다.

그림 1. τ 와 PRI 가 정하는 것들. 송신 구간은 귀를 막는 구간이고, 다음 펄스까지의 간격은 들을 수 있는 최대 거리를 정한다.

파라미터

\[\mathrm{PRI} = \frac{1}{\mathrm{PRF}}, \qquad d = \frac{\tau}{\mathrm{PRI}} = \tau \cdot \mathrm{PRF}, \qquad P_{\text{평균}} = P_{\text{첨두}} \cdot d\]

기준 설정에서는 $\tau = 10$ µs, PRI = 1 ms 이므로 듀티가 1 % 다. 첨두 10 kW 에 평균 100 W 라는 뜻이고, 이 두 숫자가 서로 다른 설계를 지배한다. 방열과 전원은 평균 100 W 로, 도파관 내압과 소자 정격은 첨두 10 kW 로 잡는다. 둘 중 하나만 보면 과설계가 되거나 태워 먹는다.

벽 1 — 최소 거리

송신하는 동안에는 수신기가 닫혀 있다. 그 사이에 돌아온 에코는 통째로 사라진다.

\[R_{\min} = \frac{c\,\tau}{2} = 1.5\ \text{km}\]

0편 1절의 환산(1 µs ↔ 150 m)이 그대로 쓰인다. $\tau = 10$ µs 면 1.5 km 다. 이 구간을 이클립싱(eclipsing) 이라 부르고, PRI 마다 반복된다. 저 PRF 에서는 첫 구간만 문제지만, 뒤에서 볼 고 PRF 에서는 듀티가 크기 때문에 전체 거리의 상당 부분이 주기적으로 눈에서 사라진다.

벽 2 — 최대 비모호 거리

다음 펄스가 나가기 전에 에코가 돌아와야 몇 번째 펄스의 메아리인지 알 수 있다.

\[R_{\max} = \frac{c}{2\,\mathrm{PRF}} = 149.9\ \text{km}\]

PRF 1 kHz 면 약 150 km 다. 이보다 먼 표적의 에코도 물론 돌아오지만, 다음 주기에 도착하므로 가까운 표적으로 잘못 읽힌다. 이것이 3절의 주제다.

그리고 분해능

\[\Delta R = \frac{c\,\tau}{2}\]

$R_{\min}$ 과 같은 식이다. 우연이 아니라 같은 이유다 — 폭 $\tau$ 인 펄스가 차지하는 공간 길이가 $c\tau$ 이고, 왕복이므로 절반이다. 변조하지 않은 펄스에서는 최소 거리와 거리 분해능이 같은 값에 묶여 있다.

여기서 요구 셋이 정면으로 충돌한다.

원하는 것	필요한 조작	망가지는 것
멀리 보기	$\tau$ 를 늘려 펄스 에너지를 키운다	$R_{\min}$ 과 $\Delta R$ 이 함께 나빠진다
잘게 가르기	$\tau$ 를 줄인다	에너지가 줄어 탐지거리가 준다
거리 모호성 줄이기	PRF 를 낮춘다	도플러 창이 좁아지고 갱신율이 떨어진다

앞의 두 줄, 즉 $\tau$ 를 두고 벌어지는 싸움만은 완전히 풀 수 있다. 그게 다음 절이다. 세 번째 줄은 풀리지 않고 5절에서 선택의 문제가 된다.

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3. 거리 모호성 — 두 번째 주기에 도착한 에코

그림 2. 60 km 표적과 210 km 표적이 같은 자리에 나타난다. 한 PRF 만으로는 구분할 수 없다.

PRF 1 kHz 에서 $R_{\max}$ 는 149.9 km 다. 210 km 에 있는 표적의 에코는 1.4 ms 뒤에 도착하는데, 그때는 이미 두 번째 펄스가 나가고 0.4 ms 가 지난 시점이다. 수신기는 그것을 “두 번째 펄스가 만든 60 km 에코”로 읽는다.

\[R_{\text{겉보기}} = R \bmod R_{\max}\]

실제 거리	겉보기 거리
60 km	60.0 km
210 km	60.1 km
360 km	60.2 km

전부 같은 거리 빈에 겹친다. 이것을 2차 에코(second-time-around echo) 라 부른다.

푸는 방법 — PRF 를 바꿔 다시 본다

$R_{\max}$ 가 PRF 로 정해지므로, PRF 를 바꾸면 진짜 표적은 제자리에 있고 모호한 표적은 자리를 옮긴다. PRF 를 두세 개 섞어 쏘고 겉보기 거리를 비교하면 실제 거리를 복원할 수 있다.

수학적으로는 중국인의 나머지 정리다. 서로소인 $R_{\max,1}, R_{\max,2}, \ldots$ 에 대한 나머지들로 원래 값을 하나로 정하는 문제이고, 유일하게 풀리는 범위는 그 최소공배수까지다. 예를 들어 PRF 1 kHz(149.9 km)와 1.2 kHz(124.9 km)를 섞으면 유일 구간이 750 km 근처까지 늘어난다.

거저 되는 것은 아니다. PRF 마다 별도의 CPI 를 써야 하므로 갱신율이 그만큼 나뉜다. 그리고 어느 PRF 에서 이클립싱에 걸린 표적은 그 조합에서 빠지므로, 실무에서는 필요한 개수보다 하나 더 쏜다.

CW·FMCW 와 비교해 두면 지도가 완성된다. 2편에서 FMCW 는 도플러 축이 $N$ 배로 접힌다고 했고, CW 는 거리축 자체가 없었다. PW 는 접히는 축이 거리다. 세 파형 모두 무언가 접히는데, 접히는 축이 다르다.

더 정확히는 이렇다. FMCW 의 slow-time 샘플링 주기가 $T_c$ 라서 도플러가 접히듯, PW 의 fast-time 관측 창이 PRI 라서 거리가 접힌다. 그리고 PW 도 slow-time 으로는 PRI 간격 샘플링이라 도플러까지 같이 접힌다. 축이 둘 다 접히는 유일한 파형이고, 그래서 5절의 PRF 선택이 그렇게 중요해진다.

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4. 펄스 압축 — 분해능과 에너지의 매듭 풀기

2절의 딜레마를 다시 적는다. 멀리 보려면 에너지가 필요해서 $\tau$ 를 늘려야 하는데, 잘게 가르려면 $\tau$ 를 줄여야 한다. 첨두 전력을 올려 해결하려 해도 송신관의 정격과 도파관 절연이 막는다.

이 매듭을 푸는 것이 펄스 압축이고, PW 레이다 신호처리에서 가장 중요한 한 가지다.

그림 3. 긴 펄스 안에서 주파수를 훑어 두면, 정합필터가 그것을 대역폭이 정하는 폭으로 접어 준다.

근거 — 정합필터의 SNR 은 파형에 의존하지 않는다

정합필터를 통과한 뒤의 첨두 SNR 은 이것뿐이다.

\[\mathrm{SNR} = \frac{E}{N_0}, \qquad E = P_t\,\tau\]

$E$ 는 펄스의 에너지, $N_0$ 는 잡음 전력 밀도다. 신호가 그 에너지를 어떤 모양으로 담고 있는지는 전혀 들어가지 않는다. 짧고 센 펄스든 길고 약한 펄스든, 에너지가 같으면 SNR 이 같다.

한편 거리 분해능은 대역폭이 정한다. 0편 5절과 2편 1절에서 두 번 나온 그 식이다.

\[\Delta R = \frac{c}{2B}\]

두 식에 $\tau$ 와 $B$ 가 따로 들어 있다는 것이 전부다. 변조하지 않은 펄스는 $B \approx 1/\tau$ 라서 둘이 묶여 있었을 뿐, 원래 독립인 양이다. 긴 펄스 안에 넓은 대역을 실어 보내면 매듭이 풀린다.

LFM chirp

가장 널리 쓰이는 방법은 펄스 안에서 주파수를 직선으로 훑는 것이다. FMCW 의 chirp 와 같은 파형인데, 연속이 아니라 펄스 하나 안에 들어 있다.

\[s(t) = \mathrm{rect}\!\left(\frac{t}{\tau}\right) e^{j\pi S t^2}, \qquad S = \frac{B}{\tau}\]

수신에서는 이 파형의 켤레를 정합필터로 걸어 상관을 취한다. 출력은 폭 $\approx 1/B$ 인 좁은 첨두가 된다.

\[\text{압축비} = \tau B = 10\,\mathrm{\mu s} \times 10\,\mathrm{MHz} = 100\]

기준 설정에서 1.5 km 였던 분해능이 15 m 가 된다. 같은 분해능을 압축 없이 얻으려면 $\tau = 100$ ns 로 줄여야 하고, 그러면 에너지가 100배(20 dB) 빠져 탐지거리가 $100^{1/4} = 3.16$ 배 짧아진다.

대가 1 — 시간 사이드로브

압축 출력은 이상적인 점이 아니라 sinc 를 닮은 모양이다. 메인로브 양옆에 사이드로브가 서고, 무가중이면 첫 사이드로브가 −13.2 dB 다. 강한 표적 옆 15 m 지점에 그 표적의 1/20 짜리 유령이 서 있다는 뜻이다. 큰 표적 근처의 작은 표적이 이것에 묻힌다.

정합필터의 주파수 응답에 창을 씌우면 내려간다.

가중	첨두 사이드로브	메인로브 폭	SNR 손실
무가중 (직사각)	−13.2 dB	×1.00	0 dB
Taylor ($\bar n = 5$, −35 dB)	−35 dB	×1.20	0.75 dB
Hamming	−42.8 dB	×1.47	1.34 dB

3편 5절에서 도플러 축에 Hann 을 걸며 본 상충과 정확히 같은 구조다. 축이 주파수에서 거리로 바뀌었을 뿐이다. 다만 가중을 정합필터 쪽에 걸면 더 이상 완전한 정합이 아니므로, 사이드로브를 산 값을 SNR 로 치른다.

대가 2 — 거리·도플러 결합

움직이는 표적의 에코는 도플러만큼 주파수가 밀려 있다. LFM 은 주파수와 시간이 직선으로 묶여 있으므로, 주파수가 밀리면 거리도 밀려 보인다.

\[\delta R = \frac{c\,f_d}{2S}\]

1편 6절의 FMCW 거리·도플러 결합과 글자 그대로 같은 식이다. 숫자를 넣어 보자. 300 m/s 로 접근하는 표적은 $f_d = 19.0$ kHz 이고, $S = 1$ MHz/µs 이므로

\[\delta R = \frac{299{,}792{,}458 \times 19{,}013}{2 \times 10^{12}} = 2.85\ \text{m}\]

분해능 15 m 의 0.19 배다. LFM 은 도플러에 관대하다. 이 관대함이 LFM 이 표준이 된 이유이고, 필요하면 상향과 하향 chirp 를 번갈아 써서 부호가 반대인 두 편이를 비교해 제거한다.

반대쪽 예로 Barker 부호 같은 위상 부호화 파형은 도플러에 훨씬 예민하다. 도플러가 부호 길이의 역수 수준만 되어도 상관 첨두가 무너진다. 대신 13비트 Barker 는 사이드로브가 $20\log_{10}(1/13) = -22.3$ dB 로 균일하다는 장점이 있어, 도플러가 작은 근거리 응용에서 쓰인다.

남는 것 — 이클립싱은 압축되지 않는다

여기서 자주 혼동한다. 펄스 압축은 수신에서 하는 일이라, 송신 파형의 물리적 길이 $\tau$ 는 그대로다. 따라서

\[\Delta R = \frac{c}{2B} = 15\ \text{m} \quad\text{이지만}\quad R_{\min} = \frac{c\tau}{2} = 1.5\ \text{km}\ \text{는 그대로}\]

분해능은 100배 좋아졌는데 최소 거리는 1.5 km 에 붙박여 있다. 근거리를 봐야 하는 시스템이 짧은 펄스와 긴 펄스를 번갈아 쏘는(interleaved waveform) 이유가 이것이다.

SW 에서 걸려 넘어지는 지점: 정합필터의 참조 파형은 실제 송신 파형과 같아야 한다. 송신 체인의 비선형이나 램프 비선형이 실제 파형을 틀어 놓으면, 참조와 어긋난 만큼 사이드로브가 올라간다. 그래서 실장비에서는 커플러로 뽑은 송신 샘플을 참조로 쓰거나(자체 정합), 측정한 왜곡의 역필터를 곱해 둔다. 계산으로 만든 이상적인 chirp 를 참조로 박아 두면 시뮬레이션에서는 −42 dB 가 나오다가 현장에서 −25 dB 가 나온다.

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5. PRF 체제 — 거리와 속도 중 무엇을 접을 것인가

3절 끝에서 적었듯 PW 는 거리도 접히고 속도도 접힌다. 두 모호성이 PRF 하나에 반대 방향으로 매달려 있다.

\[R_{\max} = \frac{c}{2\,\mathrm{PRF}} \qquad\text{(PRF 에 반비례)}\] \[v_{\max} = \pm\frac{\lambda\,\mathrm{PRF}}{4} \qquad\text{(PRF 에 비례)}\]

곱해 보면 PRF 가 사라진다.

\[R_{\max} \cdot v_{\max} = \frac{c\lambda}{8}\]

둘의 곱이 상수다. 파장과 광속만으로 정해지는 값이라 설계로 어찌할 수 없다. X 밴드에서 이 값은 $1.18 \times 10^6\ \mathrm{m^2/s}$ 이고, 150 km 를 비모호하게 보려면 속도 창이 ±7.9 m/s 로 정해져 버린다는 뜻이다. PRF 선택은 성능 조절이 아니라 어느 축을 포기할지 고르는 일이다.

그림 4. 같은 표적(100 km, 300 m/s)을 세 체제로 보았을 때. 어느 쪽도 두 축을 다 담지 못한다.

체제	PRF	$R_{\max}$	$v_{\max}$	첫 blind speed	성격
저 PRF	1 kHz	149.9 km	±7.9 m/s	15.8 m/s	거리 비모호, 속도 심하게 접힘
중 PRF	10 kHz	15.0 km	±78.9 m/s	157.8 m/s	양쪽 다 접힘
고 PRF	200 kHz	0.75 km	±1578 m/s	—	속도 비모호, 거리 심하게 접힘

100 km, 300 m/s 인 표적을 각 체제가 어떻게 보는지가 그림 4다.

• 저 PRF — 거리는 100 km 로 정확히 나온다. 속도는 19 바퀴 접혀 +0.2 m/s 로 읽힌다. 정지 표적과 구분되지 않는다.
• 고 PRF — 속도는 300 m/s 로 정확히 나온다. 거리는 133 바퀴 접혀 쓸 수 없다. 대신 듀티가 크므로 평균 전력이 높아 원거리 탐지에 유리하고, 접근 표적의 도플러가 클러터 위로 확실히 분리된다.
• 중 PRF — 양쪽 다 접히지만 어느 쪽도 절망적이지는 않다. 그래서 PRF 를 여러 개 섞어 두 축을 동시에 해모호한다. 대신 처리량과 갱신율을 그만큼 쓴다.

이클립싱은 PRF 와 함께 커진다

듀티가 $d$ 면 전체 거리 중 $d$ 만큼이 주기적으로 눈에서 사라진다. 저 PRF 에서 듀티 1 % 면 1.5 km 구간 하나지만, 고 PRF 에서 듀티가 30~50 % 로 올라가면 거리의 절반이 보이지 않는다. 고 PRF 시스템이 PRF 를 몇 개씩 번갈아 쓰는 이유가 거리 해모호만은 아니고, 이 blind zone 을 서로 메우기 위해서이기도 하다.

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6. MTI 와 펄스 도플러 — 클러터를 지우는 두 방법

지상 감시 레이다가 보는 것의 대부분은 표적이 아니라 지면이다. 산, 건물, 나무, 바다, 비. 이 반사들의 합을 클러터라 하고, RCS 로 치면 표적보다 40~70 dB 크다. 클러터를 어떻게든 지우지 못하면 표적은 그 안에 파묻힌다.

다행히 클러터는 대체로 정지해 있다. 도플러가 0 근처에 몰려 있으므로 주파수로 갈라낼 수 있다.

MTI — 이웃 펄스를 뺀다

가장 값싼 방법은 연속한 두 펄스의 같은 거리 게이트를 빼는 것이다. 정지 물체는 두 펄스에서 같은 값이므로 0이 되고, 움직이는 표적은 위상이 돌아 있어 살아남는다.

\[y[m] = x[m] - x[m-1] \;\Longrightarrow\; H(f) = 1 - e^{-j2\pi f T}, \quad \lvert H(f)\rvert = 2\lvert\sin(\pi f T)\rvert\]

그림 5. 0 Hz 에 깊은 골이 생기는데, 그 골이 PRF 주기로 반복된다.

blind speed — 공짜가 아니다

$\lvert H \rvert$ 가 0 이 되는 곳은 $f_d = 0$ 만이 아니다. $f_d = k \cdot \mathrm{PRF}$ 마다 반복된다. 도플러가 PRF 의 정수배인 표적은 클러터와 함께 지워진다.

\[v_b = \frac{k\,\lambda\,\mathrm{PRF}}{2}\]

기준 설정에서 첫 blind speed 는 15.78 m/s, 시속으로 56.8 km 다. 도로를 달리는 차량 속도대가 통째로 사라진다는 뜻이라 실제로 큰 문제다.

PRF 를 펄스마다 흔들면(staggered PRF) 골의 위치가 매번 달라져 서로 메워진다. 스태거 비를 $n_1 : n_2 : \cdots : n_N$ 으로 잡으면 첫 blind speed 가 평균 PRF 기준의 $\frac{1}{N}\sum n_i$ 배로 밀린다. 4:5 로만 섞어도 4.5배, 즉 15.78 → 71.0 m/s 가 된다.

여기에 함정이 하나 있다. 스태거는 PRI 를 불균일하게 만드는데, 뒤에 나올 펄스 도플러의 FFT 는 균일 간격 샘플링을 전제로 한다. 두 기법을 한 CPI 안에서 같이 쓸 수 없다.

실무의 해법은 층을 나누는 것이다. MTI 만 쓰는 시스템은 펄스 단위로 스태거를 걸고, 펄스 도플러 시스템은 CPI 안에서는 PRI 를 고정하고 CPI 사이에서 PRF 를 바꾼다. 이 구분을 모르고 짜면 스펙트럼이 이유 없이 번지는데, 원인을 신호처리 쪽에서 찾기 시작하면 한참 헤맨다.

개선 계수

클러터가 완전히 정지해 있지는 않다. 나뭇잎이 흔들리고 파도가 치므로 도플러 스펙트럼에 폭 $\sigma_f$ 가 있다. 상쇄기가 클러터를 얼마나 눌러 주는지를 개선 계수 $I$ 로 적는다. 가우시안 클러터에 $\sigma_f T \ll 1$ 이면

\[I_2 \approx \frac{2}{(2\pi\sigma_f T)^2}, \qquad I_3 \approx \frac{2}{(2\pi\sigma_f T)^4}\]

$\sigma_f = 10$ Hz, PRF 1 kHz 를 넣으면 2펄스 상쇄기가 27.1 dB, 3펄스가 51.1 dB 다. 상쇄기 단을 하나 더 쌓는 값이 24 dB 라는 뜻이라 대개 3펄스까지는 간다. 다만 그만큼 골이 넓어져 느린 표적이 더 죽는다.

펄스 도플러 — FFT 로 통째로 본다

MTI 는 클러터를 지우기만 한다. 표적의 속도는 알려주지 않는다. 같은 거리 게이트를 CPI 전체에 걸쳐 모아 FFT 를 걸면 도플러 스펙트럼이 나온다.

여기서 3편이 그대로 반복된다. CW 에서 시간축 512 샘플에 FFT 를 걸어 도플러를 얻었던 것과, PW 에서 같은 거리 게이트의 128 펄스에 FFT 를 거는 것은 완전히 같은 연산이다. 차이는 샘플 간격이 $T_s = 20$ µs 가 아니라 $T = \mathrm{PRI} = 1$ ms 라는 것뿐이고, 그래서 도플러 창이 그만큼 좁다(= 5절의 $v_{\max}$).

출력은 거리 × 도플러 2차원 맵이다. 2편 2절에서 FMCW 가 만들던 range–Doppler 맵과 같은 물건이고, 검출도 같은 방식으로 2차원 CFAR 를 쓴다.

	MTI	펄스 도플러
연산	뺄셈 2~3회	게이트마다 $M$ 점 FFT
출력	클러터 제거된 신호	거리–도플러 맵
속도 정보	없음	있다 (부호까지)
PRI	스태거 가능	CPI 안에서는 고정
클러터	0 Hz 근처만	도플러 빈 단위로 분리

요즘 시스템은 둘을 겹쳐 쓴다. FFT 앞에 MTI 를 한 단 두면 강한 클러터를 미리 눌러 FFT 의 동적 범위 요구를 낮출 수 있다.

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7. 탐지거리는 에너지가 정한다

0편 7절에서 세운 레이다 방정식에 펄스 파라미터를 넣는다.

\[\mathrm{SNR} = \frac{P_t\,G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4\, k T_0 B F L}, \qquad B = \frac{1}{\tau}\]

기준 설정($P_t = 10$ kW, $G = 35$ dBi, $\sigma = 1\ \mathrm{m^2}$, $F = 3$ dB, 손실 $L = 5$ dB)을 dB 로 펼치면 상수항이 193.0 dB 다.

\[\mathrm{SNR}(R)\,[\mathrm{dB}] = 193.0 - 40\log_{10} R\]

거리	단일 펄스 SNR
30 km	13.9 dB
50 km	5.0 dB
100 km	−7.0 dB

얼마나 필요한가

비요동 표적(Swerling 0)을 $P_d = 0.9$, $P_{fa} = 10^{-6}$ 로 잡으려면 SNR 이 약 13.2 dB 필요하다. 이 숫자는 레이다 쪽에서 그냥 외우는 값이다. 위 식에 넣으면 단일 펄스 탐지거리가 31.2 km 다.

실제 표적은 요동한다. Swerling 1(스캔 간 요동, 지수분포)이면 같은 $P_d$ 를 얻는 데 8 dB 가 더 든다. 요동이 펄스마다 독립인 Swerling 2 라면 적분이 그 손실을 상당 부분 되찾아 준다. 펄스마다 주파수를 바꾸면(frequency agility) Swerling 1 표적이 Swerling 2 처럼 거동한다 — 주파수가 바뀌면 표적 위 산란점들의 위상 합이 새로 뽑히기 때문이다. 검출 성능을 위해 주파수 다양성을 쓰는 첫 번째 이유가 이것이다.

적분 — 여기서 판이 바뀐다

한 표적에 여러 펄스를 쏘고 합치면 SNR 이 올라간다.

• 코히어런트 적분: 위상을 유지한 채 더한다. 신호는 진폭이 $N$ 배, 잡음은 전력이 $N$ 배 → SNR 이 정확히 $N$ 배, 즉 $10\log_{10}N$ dB.
• 비코히어런트 적분: 검파 후 크기만 더한다. 잡음도 같이 쌓여 이득이 그보다 작다. $N = 16$ 이면 코히어런트가 12.0 dB, 비코히어런트는 대략 9~10 dB 다.

코히어런트 적분이 가능하다는 것이 펄스 도플러 레이다의 정의에 가깝다. 그리고 $R^4$ 법칙 때문에 SNR 이득이 거리로는 4제곱근으로 환산된다.

\[R_{\text{탐지}} \propto N^{1/4}\]

코히어런트 적분	SNR 이득	탐지거리
1 펄스	0 dB	31.2 km
16 펄스	12.0 dB	62.5 km
128 펄스	21.1 dB	105.0 km

첨두 전력을 100배 올리는 것과 펄스 100개를 코히어런트 적분하는 것이 탐지거리에서 같은 값이다. 앞은 송신관을 갈아야 하고 뒤는 연산으로 산다. 1970년대 이후 레이다 설계가 디지털 쪽으로 기운 이유가 이 한 줄에 들어 있다.

그런데 시간이 없다

128 펄스는 PRF 1 kHz 에서 128 ms 다. 안테나가 회전하고 있다면 표적이 빔 안에 그만큼 머물러야 한다.

\[t_{\text{체류}} = \frac{\theta_{3\mathrm{dB}}}{360°} \times T_{\text{스캔}}\]

빔폭 2°, 360°를 4초에 훑는 감시 레이다라면 체류 시간이 22 ms, 펄스로는 22개다. 128개가 아니라 22개다.

\[22\ \text{펄스} \;\Longrightarrow\; +13.4\ \mathrm{dB} \;\Longrightarrow\; R = 67.6\ \text{km}\]

탐지거리와 갱신율이 같은 예산을 두고 싸운다. 더 멀리 보려면 천천히 돌아야 하고, 천천히 돌면 표적 정보가 늦게 갱신된다. 기계식 회전 안테나에서 이 상충은 풀 수 없고, 위상배열이 빔을 전자적으로 옮겨 체류 시간을 표적마다 다르게 배분할 수 있게 되면서 비로소 설계 변수가 된다. 그 배분을 실제로 어떻게 하는지는 6편 9절에서 다룬다.

한 줄로 줄이면: 탐지거리를 정하는 것은 첨두 전력이 아니라 평균 전력 × 체류 시간, 곧 표적에 쏟아부은 총 에너지다. 첨두 전력은 그 에너지를 어떤 모양으로 담을지를 정할 뿐이다.

검출

문턱은 2편 2절과 같다. 거리–도플러 맵은 셀마다 잡음·클러터 바닥이 크게 다르므로 고정 문턱을 쓸 수 없고 CFAR 가 필요하다. 참조 셀 $N_{ref}$ 개, 오경보 확률 $P_{fa}$ 에 대해

\[\alpha = N_{ref}\big(P_{fa}^{-1/N_{ref}} - 1\big)\]

PW 에서 추가로 신경 쓸 것은 클러터 에지다. 지면 클러터가 끝나는 거리에서 참조 창이 두 영역에 걸치면 문턱이 잘못 잡힌다. 그래서 셀 평균(CA) 대신 좌우 중 작은 쪽을 쓰는 GO/SO-CFAR 나 순서통계(OS) CFAR 를 쓴다.

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8. 각도 — 모노펄스

거리와 속도가 나왔으면 남은 것은 방향이다. PW 레이다의 표준은 모노펄스다.

수신 개구를 둘로 나눠 두 채널의 합과 차를 만든다.

\[\Sigma = A + B, \qquad \Delta = A - B\]

0편 3절 그리스 문자표에 $\Sigma$ 를 “모노펄스의 합 채널”로 적어 둔 것이 이것이다. 빔 중심에서는 $\Delta = 0$ 이고, 벗어나면 그 방향으로 부호가 있는 값이 나온다. 정규화한 오차 신호를 쓰면 진폭이 소거된다.

\[\varepsilon = \mathrm{Re}\!\left(\frac{\Delta}{\Sigma}\right) \;\approx\; k_m \cdot \frac{\theta}{\theta_{3\mathrm{dB}}}\]

$k_m$ 은 모노펄스 기울기로 보통 1.5~2 다. 각도 정밀도는 이렇게 나온다.

\[\sigma_\theta \approx \frac{\theta_{3\mathrm{dB}}}{k_m \sqrt{2\,\mathrm{SNR}}}\]

빔폭 2°, SNR 20 dB, $k_m = 1.6$ 이면 0.088° 다. 빔폭의 1/23 이다. 펄스 하나로 빔폭보다 훨씬 정밀한 각도가 나온다는 것이 모노펄스의 요점이고, 이름의 “mono”도 거기서 왔다.

3편 8절의 위상 간섭계와 목적은 같고 기하가 다르다. 간섭계는 떨어뜨린 안테나 사이의 위상차를 쓰므로 정밀도는 좋지만 유일 구간이 좁았다. 모노펄스는 하나의 개구를 나눠 만든 두 빔의 진폭·위상 비를 쓰므로 모호성이 없는 대신 유효 기선이 개구 크기로 제한된다. 0편 5절의 격자엽 조건이 여기서는 걸리지 않는다.

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9. SW 관점 — 데이터 큐브와 실시간 예산

여기부터가 실제로 코드를 짜는 자리다.

그림 6. 축 하나가 처리 단계 하나에 대응한다. 처리 순서는 곧 큐브를 어느 방향으로 훑느냐다.

큐브의 크기

기준 설정으로 계산해 본다. 수신 대역 10 MHz 를 복소로 10 MSPS 표본화하면 거리 게이트 간격이 15 m 이고, PRI 1 ms 중 송신 10 µs 를 뺀 990 µs 를 받으면 게이트가 9,900 개다.

축	크기	의미
fast-time	9,900	거리 게이트 (간격 15 m)
slow-time	128	CPI 안의 펄스
채널	4	모노펄스 Σ/Δ 또는 부배열

\[9{,}900 \times 128 \times 4 \times 8\,\mathrm{B} = 40.6\ \mathrm{MB} \;/\; \text{CPI}, \qquad \text{CPI} = 128\ \mathrm{ms}\]

복소 float32 기준이다. 이 큐브 하나를 128 ms 안에 다 처리해야 다음 CPI 를 받을 수 있다.

연산량 — 어디가 비싼가

단계	방향	비용
펄스 압축	fast-time	100 탭 × 9,900 × 128 × 4 = 507 M MAC / CPI
Doppler FFT	slow-time	128점 FFT × 9,900 × 4 = 17.7 M butterfly / CPI
모노펄스	채널	검출된 셀에서만 — 무시할 수준

펄스 압축이 4.0 GMAC/s 로 지배적이고 Doppler FFT 는 그 3.5 % 다. 직관과 반대인 경우가 많은데, FFT 길이 128 은 짧고 게이트 수 9,900 은 많기 때문이다.

압축을 시간 영역 FIR 로 짤지 주파수 영역 곱셈으로 짤지는 탭 수가 정한다. 대략의 기준은 탭 수 $L$ 과 $\log_2 N$ 의 비교인데, 여기서는 $L = 100$ 이고 FFT 길이 16,384 에 $\log_2 N = 14$ 다. 주파수 영역이 압도적으로 싸다. overlap-save 로 짜면 된다.

진짜 병목 — 코너 턴

펄스 압축은 fast-time 을 따라가고 Doppler FFT 는 slow-time 을 따라간다. 두 방향이 직교하므로 한쪽에 연속 배치하면 다른 쪽은 stride 접근이 된다. 큐브 40.6 MB 를 한 번 읽고 한 번 쓰는 것만으로 CPI 당 81 MB, 초당 634 MB/s 다. 캐시 라인을 하나 읽어 8바이트만 쓰는 패턴이면 실효 대역폭이 그보다 훨씬 나빠진다.

실무의 정석은 셋이다.

• 타일 단위 전치. 게이트 × 펄스를 64×64 같은 블록으로 나눠 캐시 안에서 뒤집는다.
• DMA 로 겹치기. 전치를 CPU 가 아니라 DMA 엔진에 맡기고 그 시간에 다른 CPI 를 계산한다.
• 레이아웃 자체를 바꾸기. Doppler FFT 를 거리 게이트 묶음 단위로 처리해 stride 를 캐시 라인에 맞춘다.

큐브의 메모리 레이아웃을 정하는 것이 이 코드에서 가장 중요한 설계 결정이다. 알고리즘은 교과서에 다 있지만 레이아웃은 하드웨어마다 다시 정해야 한다.

워드 길이

각 단계에서 신호가 자란다.

단계	최대 성장	누적
ADC	—	12 bit
펄스 압축 (100 탭 합)	$\log_2 100 = 6.6$ bit	18.6 bit
Doppler FFT (128점)	$\log_2 128 = 7$ bit	25.6 bit

32비트 고정소수점이면 헤드룸이 6비트 남는데, 여기에 창 함수 이득과 클러터 여유까지 얹으면 빠듯하다. 단계마다 스케일을 다시 잡는 블록 부동소수점을 쓰거나 단정밀도 부동소수점으로 가는 이유다. 스케일 정보를 어디에 들고 다닐지를 초기에 정해 두지 않으면 나중에 SNR 계산이 어긋난다.

놓치기 쉬운 것들

• Fill pulse. CPI 첫 몇 펄스에는 먼 거리 게이트의 에코가 아직 도착하지 않았다. 그 상태로 FFT 를 걸면 앞부분이 0 이라 스펙트럼이 번진다. CPI 앞에 버릴 펄스를 몇 개 쏘거나, 채워지지 않은 게이트를 마스킹해야 한다.
• PRF 전환 경계. CPI 사이에 PRF 를 바꾸면 그 경계에서 코히어런스가 끊긴다. CPI 를 넘어 적분하면 안 된다.
• STC. 근거리 에코는 $R^{-4}$ 때문에 극단적으로 크다. 거리에 따라 수신 이득을 낮추는 STC 를 걸지 않으면 근거리에서 ADC 가 포화한다. 다만 STC 는 SNR 을 바꾸므로 검출 문턱 계산에 반드시 반영해야 한다.
• 이클립싱 마스크. 송신 중인 게이트는 데이터가 아니라 구멍이다. 이 구간을 유효 데이터로 취급하면 CFAR 문턱이 왜곡된다.
• 시각 동기. 거리는 시간이다. 송신 트리거와 ADC 샘플 클럭 사이의 지연이 1 샘플만 어긋나도 전 표적이 15 m 씩 밀린다. 캘리브레이션 지연을 상수로 빼는 절차가 반드시 있어야 한다.

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10. CW · FMCW · PW 한 장 비교

시리즈 전체를 한 표로 접으면 이렇게 된다.

항목	CW	FMCW	PW
시간 표식	없음	주파수 램프	펄스의 켜짐/꺼짐
거리	얻지 못함	$\Delta R = c/2B$	$\Delta R = c/2B$ (압축 후)
최소 거리	없음	없음	$c\tau/2$ — 압축해도 남는다
접히는 축	없음 (접지 않음)	도플러 ($N$ 배)	거리와 도플러 둘 다
듀티	100 %	사실상 100 %	0.1 ~ 50 %
첨두/평균	같음	같음	크게 다름 (100:1 이상)
송수신 격리	구조적 문제 (TX 누설)	구조적 문제	시분할로 해결
정지 클러터	전부 0 Hz	거리 빈으로 분리	거리 빈 + MTI/도플러
위상잡음	레인지 상관이 근거리를 구해 준다	같음	같음, 단 송신기 잡음이 더 큰 문제
각도	위상 간섭계	간섭계 · MIMO	모노펄스 · 위상 배열
전형적 용도	근거리 속도계, 생체신호	차량, 산업 근거리	감시, 추적, 기상, 항공 관제

세 파형의 관계를 한 문장으로 적으면 이렇다. CW 는 접지 않아서 도플러 축이 온전하지만 거리축이 없고, FMCW 는 도플러를 접어 거리축을 사고, PW 는 두 축 다 접는 대신 송수신을 갈라 큰 첨두 전력과 먼 거리를 산다.

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11. 정리

절	핵심	기억할 값
1	켜짐/꺼짐이 시간 표식이다	—
2	$\tau$ 가 최소 거리와 분해능을 함께 정한다	$R_{\min} = c\tau/2$
3	거리도 접힌다	$R_{\max} = c/2\mathrm{PRF}$
4	정합필터 SNR 은 에너지만의 함수다	압축비 $\tau B$
5	$R_{\max} \cdot v_{\max} = c\lambda/8$ 은 상수다	PRF 선택 = 축 선택
6	클러터를 지우면 blind speed 가 따라온다	$v_b = \lambda\,\mathrm{PRF}/2$
7	탐지거리는 평균 전력 × 체류 시간이 정한다	$R \propto N^{1/4}$
8	모노펄스는 펄스 하나로 빔폭보다 정밀하다	$\theta_{3\mathrm{dB}}/(k_m\sqrt{2\,\mathrm{SNR}})$
9	병목은 연산이 아니라 코너 턴이다	큐브 40.6 MB / 128 ms

가장 자주 되돌아오게 될 것은 셋이다.

1. $\tau$ 와 $B$ 는 원래 독립이다 — 펄스 압축의 전부가 여기서 나온다
2. $R_{\max} \cdot v_{\max} = c\lambda/8$ — PRF 로는 이 곱을 바꿀 수 없다
3. $R \propto N^{1/4}$ — 연산으로 탐지거리를 사는 환율

여기까지가 CPI 하나다. 이 체인이 내놓는 것은 아직 표적이 아니라 그 프레임의 검출 목록이고, 목록을 프레임 사이로 이어 트랙으로 만드는 일은 5편에서 다룬다. 9절에서 본 거리·각도 정확도가 거기서 측정 공분산 $R$ 로 그대로 들어간다. 전체 지도는 목차에 있다.

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참고 자료

• M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, McGraw-Hill — 펄스 파라미터, MTI, PRF 체제의 고전적 정리
• M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, McGraw-Hill — 펄스 압축, 도플러 처리, 검출 이론과 데이터 큐브
• M. A. Richards, J. A. Scheer, W. A. Holm (eds.), Principles of Modern Radar: Basic Principles, SciTech — 모노펄스, CFAR, 시스템 설계 관점
• D. K. Barton, Radar System Analysis and Modeling, Artech House — 링크 예산과 손실 항목의 실무적 정리
• N. Levanon, E. Mozeson, Radar Signals, Wiley — 모호성 함수, LFM 과 위상 부호 파형의 비교
• F. J. Harris, “On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform,” Proc. IEEE, 1978 — 가중에 따른 사이드로브·메인로브·SNR 손실 수치